Konvergenz auf dem Rand < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Di 13.03.2012 | | Autor: | Denis92 |
| Aufgabe | Eine reelle Potenzreihe mit Entwicklungspunkt 0.5
sei für x = 1 absolut konvergent
und für x = 1.5 konvergent aber nicht absolut konvergent. Was kann man über das Konvergenzverhalten der Potenzreihe in den Punkten
x = -2,
x = -1/2
und x = 0
sagen? |
Hallo, zu obiger Aufgabe habe ich eine Frage. In der Lösung der Aufgabe steht:
"x = 1.5 ist Randpunkt. Daraus folgt, dass der Konvergenztadius R = |-0.5| + 0.5 = 1 ist."
Warum folgt das aus der Aufgabe?
Wieso darf ich annehmen, dass eine absolut konvergente Reihe auf dem Rande des Konvergenzkreises nur "konvergiert"? Oder habe ich irgendetwas überlesen, und die Folgerung kommt irgendwo anders her?
Danke für eure Hilfe
Gruß, Denis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Di 13.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Denis,
> "x = 1.5 ist Randpunkt. Daraus folgt, dass der
> Konvergenztadius R = |-0.5| + 0.5 = 1 ist."
>
> Warum folgt das aus der Aufgabe?
Läge x=1,5 im Inneren des Konvergenzkreises, so wäre die Potenzreihe dort absolut konvergent. Läge x=1,5 außerhalb des Konvergenzkreises, so wäre die Potenzreihe dort divergent. Also bleibt x=1,5 nichts anderes übrig, als auf dem Rand des Konvergenzkreises zu liegen.
> Wieso darf ich annehmen, dass eine absolut konvergente Reihe
> Potenzreihe auf dem Rande des Konvergenzkreises nur
> "konvergiert"?
Das weißt du i.A. nicht. In der Aufgabenstellung ist jedoch vorausgesetzt, dass DIESE Potenzreihe im Punkt x=1,5 konvergiert, ohne dort absolut zu konvergieren.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Do 15.03.2012 | | Autor: | Denis92 |
Da hast du natürlich recht... vielen Dank :)
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