Konvergenz bei Grenzwerten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:20 Mi 14.11.2007 | | Autor: | H8U |
Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten und bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert der Folge [mm] (a_n)_n_\in_\IN:
[/mm]
a) [mm] a_n=(-1)^n*\bruch{n+2}{2^{n^2}-1}
[/mm]
b) [mm] a_n=\bruch{3n}{3^n}
[/mm]
Tipp zu b): Sandwich Theorem. (Wer nicht weiß, was das ist: http://de.wikipedia.org/wiki/Einschn%C3%BCrungssatz )
Darf ich einfach durch Probieren die Konvergenz untersuchen??? Wenn nicht, wie dann? Wie würdet Ihr bei der Bestimmung der Grenzwerte rangehen?
Danke für die Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:24 So 18.11.2007 | | Autor: | Tigerlilli |
Also,ich hab zuerst duch Probieren die Grenzwerte ermittelt. Bei Aufgabe a) kam ich auf die Grenzwerte 0 und-3. Dann bin ich so weitergegangen:
Behauptung: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0
[/mm]
[mm] |(-1)^n* \bruch{n+2}{2n²-1}-0| [/mm] = [mm] |\bruch{(-1)² n+2}{2n²-1}|\le \bruch{2}{n+2} [/mm] für [mm] n\not= \wurzel{1/2}
[/mm]
da 2n²-1 [mm] \ge0 [/mm] existiert [mm] N\inIN, [/mm] so dass N> [mm] \wurzel{2/\varepsilon}
[/mm]
Könnte dies einigermaßen stimmen? Kann ich überhaupt so gleich vorgehen,oder muss ich erst noch beweisen,ob die Folgen konvergent oder divergent sind? (in diesem Fall ist die Folge offensichtlich konvergent nur wie kann ich das beweisen?) LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tigerlilli!
Du hast hier die Folgenvorschrift wohl falsch gelesen. Im Nenner heißt es [mm] $2^{n^2}-1$ [/mm] ; das [mm] $n^2$ [/mm] steht also im Exponenten von der $2_$ .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo H8U!
Die Methodes des "Probierens" bei der Grenzwertsuche kann man anwenden, um zunächst einen ersten Vaerdacht für einen Grenzwert zu erlangen. Aber dieser Grenzwert sollte dann auch mathematisch nachgewiesen sein.
Bei Aufgabe b.) kann man doch für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] wie folgt abschätzen:
$$0 \ < \ [mm] \bruch{3*\red{n}}{3^n} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{3*\red{2^n}}{3^n} [/mm] \ = \ [mm] 3*\left(\bruch{2}{3}\right)^n$$
[/mm]
Nun den Grenzwert für den letzten Bruch bestimmen.
Gruß
Loddar
PS: Es wäre schön, wenn Du einen "vernünftigen" Mathe-Background angeben würdet, denn ich bezweifle, dass Du eine derartige Frage in der 1. Grundschulklasse lösen musst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 So 18.11.2007 | | Autor: | H8U |
das sollte auch nur ein kleiner spaß sein. allerdings habe ich schon gemerkt, dass richtiger spaß den mathematikern ein fremdwort ist 
du behauptest solche aufgaben würden nicht in der 1. klasse gestellt werden? na dann beweise das mal! und zwar [mm] \forall [/mm] 1.Klassenstufen [mm] \in [/mm] allen Schulen!
soll heißen: wenn ich eine solche frage stelle, sollte sich jedem sofort erschließen, welchen mathematischen background ich wohl haben könnte...
Gruß
H8U
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Halllo H8U!
Nichts gegen einen kleinen Spaß (den auch Mathematiker verstehen). Aber diese Angabe des Backgrounds hat schon seinen Sinn, damit der Antwortende weiß, auf welchem Niveau er auch schon etwas voraussetzen und antworten kann.
Gruß
Loddar
PS: Deine Aussage mit allen Schulen trifft hier ja nicht zu, da bei Dir "Klasse 1 - Grundschule" steht.
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So ihr lieben,nun hört mal bitte damit auf,euch wegen solchen Kleinkram aufzuregen und sagt mir bitte lieber einmal,wie ich den Grenzwert von b nun beweisen kann. Das ist das erste mal,dass wir soetwas machen müssen.
0 < [mm] \bruch{3\cdot{}\red{n}}{3^n} \le \bruch{3\cdot{}\red{2^n}}{3^n} [/mm] = [mm] 3\cdot{}\left(\bruch{2}{3}\right)^n [/mm] <-- wie geht man nun eine solche Grenzwertberechnung an??? Der Grenzwert hier ist ja 0. Mach ich das nun so?:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}3(2/3)^n=0
[/mm]
[mm] |3(2/3)^n-0|= |3(2/3)^n|\le \varepsilon
[/mm]
aber wie groß sollte denn hier Epsilon sein? Bitte helft mir weiter. LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 So 18.11.2007 | | Autor: | Fibonacci- |
[mm] |3(2/3)^n|\le \varepsilon [/mm]
da n [mm] \in \IN
[/mm]
wird der Wert des Bruches max. 2 !
Da du dein Epsilon [mm] "\le" [/mm] gewählt hast, kannst du
[mm] \varepsilon [/mm] = 2 wählen !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Mo 19.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst dir das [mm] \varepsilon [/mm] NICHT aussuchen! du musst ein N angeben (das meist von [mm] \varepsilon [/mm] abhängt, so dass für alle größeren n
[mm] 3*(2/3)^n<\varepsilon
[/mm]
[mm] (2/3)^n<\varepsilon/3
[/mm]
[mm] n*ln(2/3)
da ln2/3<1 daraus [mm] n>ln(\varepsilon/3)/ln(2/3)
[/mm]
Damit bist du fertig.
Meistens darf man aber davon ausgehen, dass für q<1 [mm] q^n [/mm] beliebig klein wird, wenn n beliebig gross wird.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Mo 19.11.2007 | | Autor: | H8U |
dann stellt sich mir nur noch die frage, wie man beweisen soll, dass die folgen wirklich nur diesen einen grenzwert haben?!
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Hallo H8U,
aber das ist doch immer so, wenn ne Folge gegen einen Grenzwert konvergiert, so ist dieser eindeutig.
Das habt ihr doch bestimmt in der VL gezeigt.
Ich meine, das ist ja auch anschaulich klar, wenn es einen GW a gibt, so müssen doch ab nem gewissen [mm] n_0 [/mm] alle weiteren Folgenglieder in ner [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] um a liegen, die man beliebig klein vorgeben kann [mm] (\forall \varepsilon>0....)
[/mm]
Wenn b ein anderer GW wäre, müssten genauso ab nem gewissen [mm] n_1 [/mm] alle weiteren Folgenglieder in ner beliebig kleinen [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] um b liegen.
Das haut nicht hin...
Nimm mal [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \frac{|a-b|}{3} [/mm] und versuch das mal hinzubalsteln
Also WENN es einen GW gibt, so ist er EINDEUTIG
LG
schachuzipus
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HAllo Leute,
ich habe die selbe Aufgabe und warum benutzt ihr das Sandwich Theorem bei b) nicht, wenn es euch unser Prof. schon vorschlägt. Sucht euch einfach eine Folge heraus, die den Grenzwert null hat die kleiner ist als [mm] 3n/3^n [/mm] und eine die größer ist und beweist den grenzwert der beiden, dann ist auch der grenzwert von [mm] 3n/3^n [/mm] gleich null. das besagt ja das theorem
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Di 20.11.2007 | | Autor: | H8U |
wo hast du jetz das [mm] \epsilon [/mm] her genommen? kann man das einfach so schreiben und dann umformen? das genügt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Di 20.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab kein [mm] \epsilon [/mm] genommen, sondern ein n zu jedem Beliebigen [mm] \epsilon [/mm] bestimmt.
jeder der Will kann jetzt ein [mm] \epsilon [/mm] angeben (das heisst beliebig) und ich kann ihm sofort ein passendes n sagen!
Gruss leduart
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Hey Leute!
Können wir das bei a) nicht schon einfach nach unseren Vorgaben aus der Vorlesung so lösen:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] (-1)^{n} \bruch{n + 2}{2n^{2}-1} [/mm] = [mm] (-1)^{n} \bruch{n(1+\bruch{2}{n})}{n^{2}(2 - \bruch{1}{k^{2}})}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = 0
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Hallo FragenüberFragenüberFragen....
Das ginge sicherlich, wenn im Nenner [mm] $2n^2$ [/mm] stünde.
Dort steht aber [mm] $2^{n^2}$, [/mm] also 2 hoch [mm] n^2
[/mm]
LG
schachuzipus
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nein stimmt nicht, H(U hat die aufgabe falsch abgeschrieben. es heisst richtig [mm] 2n^2. [/mm] ich habe ja die gleiche aufgabe, sind beide aus md.
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Also kann ich das so machen?
Oder was meinst du Bowichamps37?
Geht das nach unseren Unterlagen oder sind wir noch nicht so weit? ^^
grüße
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also wenn der prof. schon den hinweis auf theorem gibt, dann gibt es meiner meinung nach nur diese eine variante. ich jedenfalls habs so gemacht
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Hallo nochmal,
das einzige, was du benötigst, um das "ungestraft" machen zu dürfen, ist ein Satz in der Art
"Nullfolge" [mm] \cdot{} [/mm] "etwas Beschränktes" = "Nullfolge"
Das [mm] $(-1)^n$ [/mm] ist ja beschränkt, der Bruch ist - wie du richtig gesagt hast - ne Nullfolge, also ....
Falls ihr das nicht hattet, kannst du das auch ziemlich leicht beweisen
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Do 22.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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