Konvergenz bei holomorphen Fkt < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich glaube, dass die Idee folgende ist:
[mm] $(f_n)$ [/mm] konvergiert gleichmäßig auf kompakten Teilmengen, wenn [mm] $(u_n)$ [/mm] und [mm] $(v_n)$ [/mm] gleichmäßig auf kompakten Teilmengen konvergieren. [mm] ($(v_n)$ [/mm] sind die Imaginärteile der [mm] $(f_n)$.)
[/mm]
Jetzt macht man sich die Cauchy-Riemann-DGL zunutze: Für jedes $n$ gilt: [mm] $\partial_x u_n(x,y)=\partial_y v_n(x,y)$.
[/mm]
Es gilt also: [mm] $v_n(x,y)=\int\limits_{y_0}^y\partial_xu_n(x,\tilde y)d\tilde y+C_n$ [/mm] mit einer Konstante [mm] $C_n$...
[/mm]
Es gibt ja ein [mm] $z_0\in \Omega$, [/mm] so dass [mm] $f_n(z_0)$ [/mm] konvergiert. Also konvergiert mit [mm] $z_0=x_0+i y_0$ [/mm] auch [mm] $v_n(x_0,y_0)$. [/mm] Bezeichne diesen Grenzwert mit [mm] $v(x_0,y_0)$.
[/mm]
Setze nun [mm] $\tilde v_n(x,y):=\int\limits_{y_0}^y\partial_xu_n(x,\tilde y)d\tilde y+v(x_0,y_0)$.
[/mm]
Dann gilt für jedes [mm] $K\subset\Omega$ [/mm] kompakt: [mm] $\sup_{(x,y)\in K}\{|v_n(x,y)-\tilde v_n(x,y)|\}=\sup_{(x,y)\in K}\{|C_n-v(x_0,y_0)|\}=|C_n-v(x_0,y_0)|\to [/mm] 0$ nach Voraussetzung.
Jetzt musst du aus der gleichmäßigen Konvergenz der [mm] $(u_n)$ [/mm] auf $K$ dasselbe für [mm] $(\tilde v_n)$ [/mm] folgern. Du betrachtest also [mm] $\sup_{(x,y)\in K}\{|\tilde v_n(x,y)-\tilde v_m(x,y)|\}$ [/mm] und zeigst, dass das gegen $0$ geht.
Eigentlich müsste das schon klappen...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Liebe Kristine!
Erstmal vielen vielen Dank für deine Antwort! 
Leider habe ich dazu einige Fragen - vor allem verstehe ich noch nicht so ganz, wofür das hier jetzt alles gut ist - aber mal alles der Reihe nach:
> Ich glaube, dass die Idee folgende ist:
> [mm](f_n)[/mm] konvergiert gleichmäßig auf kompakten Teilmengen,
> wenn [mm](u_n)[/mm] und [mm](v_n)[/mm] gleichmäßig auf kompakten Teilmengen
> konvergieren. ([mm](v_n)[/mm] sind die Imaginärteile der [mm](f_n)[/mm].)
Das kommt mir zwar bekannt vor, aber ich weiß im Moment nicht, ob das so definiert oder ein Satz ist? Muss ich vielleicht nicht unbedingt dazu schreiben, würde ich aber schon gerne wissen...
> Jetzt macht man sich die Cauchy-Riemann-DGL zunutze: Für
> jedes [mm]n[/mm] gilt: [mm]\partial_x u_n(x,y)=\partial_y v_n(x,y)[/mm].
> Es
> gilt also:
> [mm]v_n(x,y)=\int\limits_{y_0}^y\partial_xu_n(x,\tilde y)d\tilde y+C_n[/mm]
> mit einer Konstante [mm]C_n[/mm]...
Wie kommt man auf die Grenzen des Integrals? Und was ist [mm] \tilde{y}?
[/mm]
> Es gibt ja ein [mm]z_0\in \Omega[/mm], so dass [mm]f_n(z_0)[/mm]
> konvergiert. Also konvergiert mit [mm]z_0=x_0+i y_0[/mm] auch
> [mm]v_n(x_0,y_0)[/mm]. Bezeichne diesen Grenzwert mit [mm]v(x_0,y_0)[/mm].
> Setze nun [mm]\tilde v_n(x,y):=\int\limits_{y_0}^y\partial_xu_n(x,\tilde y)d\tilde y+v(x_0,y_0)[/mm].
>
> Dann gilt für jedes [mm]K\subset\Omega[/mm] kompakt: [mm]\sup_{(x,y)\in K}\{|v_n(x,y)-\tilde v_n(x,y)|\}=\sup_{(x,y)\in K}\{|C_n-v(x_0,y_0)|\}=|C_n-v(x_0,y_0)|\to 0[/mm] nach Voraussetzung.
Das letzte Gleichheitszeichen verstehe ich leider nicht, und wie geht das nach Voraussetzung gegen 0? Ich vermute mal, wegen [mm] z_0, [/mm] aber wie genau?
> Jetzt musst du aus der gleichmäßigen Konvergenz der [mm](u_n)[/mm]
> auf [mm]K[/mm] dasselbe für [mm](\tilde v_n)[/mm] folgern. Du betrachtest
> also [mm]\sup_{(x,y)\in K}\{|\tilde v_n(x,y)-\tilde v_m(x,y)|\}[/mm]
> und zeigst, dass das gegen [mm]0[/mm] geht.
So, und wenn ich doch jetzt noch für [mm] v_n [/mm] was zeigen muss - was hast du dann hier überhaupt gemacht? Also, was hast du damit gezeigt? Und wie kommt man auf [mm] \tilde v_n [/mm] und [mm] \tilde v_m [/mm] - wie hängt das mit dem Beweis zusammen, also wieso folgt, wenn ich das dann gezeigt habe, das, was ich zeigen soll? (Nachtrag: ich glaub', das ist ne Cauchyfolge oder so...?)
Ach ja, und vielleicht könntest du mir auch noch einen Tipp geben, wie ich das denn hier jetzt noch zeigen muss. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich hoffe, du verstehst meine Fragen - vielleicht ist es auch einfach nur zu heiß heute und einiges würde sich klären, wenn es etwas kühler wäre...
> Eigentlich müsste das schon klappen...
Das glaub ich dir.
Schon mal vielen Dank für die Hilfe - hoffentlich bekomme ich die Aufgabe noch hin.
Viele Grüße
Christiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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Hallo Bastiane!
> > Ich glaube, dass die Idee folgende ist:
> > [mm](f_n)[/mm] konvergiert gleichmäßig auf kompakten Teilmengen,
> > wenn [mm](u_n)[/mm] und [mm](v_n)[/mm] gleichmäßig auf kompakten Teilmengen
> > konvergieren. ([mm](v_n)[/mm] sind die Imaginärteile der [mm](f_n)[/mm].)
> Das kommt mir zwar bekannt vor, aber ich weiß im Moment
> nicht, ob das so definiert oder ein Satz ist? Muss ich
> vielleicht nicht unbedingt dazu schreiben, würde ich aber
> schon gerne wissen...
Das kann man mit der Dreiecksungleichung zeigen:
[mm] $\|f_m-f_n\|_K=\|u_m+iv_m-u_n-iv_n\|_K\le\|u_m-u_n\|_K+\|v_m-v_n\|_K$, [/mm] wobei [mm] $\|.\|_K$ [/mm] die Supremumsnorm auf einem Kompaktum $K$ ist. Wenn jetzt [mm] $(u_n)$ [/mm] und [mm] $(v_n)$ [/mm] Cauchy-Folgen sind, ist auch [mm] $(f_n)$ [/mm] eine Cauchy-Folge.
> > Jetzt macht man sich die Cauchy-Riemann-DGL zunutze: Für
> > jedes [mm]n[/mm] gilt: [mm]\partial_x u_n(x,y)=\partial_y v_n(x,y)[/mm].
> >
> Es
> > gilt also:
> > [mm]v_n(x,y)=\int\limits_{y_0}^y\partial_xu_n(x,\tilde y)d\tilde y+C_n[/mm]
> > mit einer Konstante [mm]C_n[/mm]...
>
> Wie kommt man auf die Grenzen des Integrals? Und was ist
> [mm]\tilde{y}?[/mm]
Die Grenzen kannst du dir beliebig wählen. Ich habe [mm] $y_0:=\mathrm{Im}z_0$ [/mm] gewählt. Hätte ich vielleicht zuerst hinschreiben sollen... [mm] $\tilde [/mm] y$ ist einfach die Integrationsvariable. Hätte man auch $t$ nennen können.
Leider habe ich hier vergessen, dass [mm] $C_n$ [/mm] von $x$ abhängig ist: [mm] $C_n=C_n(x)$. [/mm] Dabei ist [mm] $C_n(x)=v_n(x,y_0)$. [/mm]
Deshalb muss man sich unten auch einiges anders überlegen. Der Sinn ist aber im Prinzip:
[mm] $\left\|v_m-v_n\right\|_K=\left\|\int_{y_0}^y\partial_xu_m(x,\tilde y)d\tilde y+C_m(x)-\int_{y_0}^y\partial_xu_n(x,\tilde y)d\tilde y-C_n(x)\right\|_K\le \left\|\int_{y_0}^y\partial_xu_m(x,\tilde y)d\tilde y-\int_{y_0}^y\partial_xu_n(x,\tilde y)d\tilde y\right\|_K+\|C_m(x)-C_n(x)\|_K$.
[/mm]
Weil [mm] $(u_n)$ [/mm] eine Cauchy-Folge ist (und die [mm] $u_n$ [/mm] wegen der Holomorphie hinreichend glatt sind), ist der erste Teil kein Problem.
Für den zweiten Teil benutzt du die andere CR-Gleichung und erhältt:
[mm] $\partial_x v_n=\int_{y_0}^y\partial_x^2u_nd\tilde y+C_n'(x)=-\partial_yu_n$.
[/mm]
Stellt man das nun um und integriert wieder auf, so erhält man:
[mm] $C_n(x)=-\int_{x_0}^x\int_{y_0}^y\partial_y u_n+\partial_x^2u_nd\tilde yd\tilde x+v_n(x_0,y_0)$.
[/mm]
Jetzt gilt:
[mm] $\|C_m-C_n\|_K\le \left\|\int_{x_0}^x\int_{y_0}^y\partial_y u_n+\partial_x^2u_nd\tilde yd\tilde x-\int_{x_0}^x\int_{y_0}^y\partial_y u_m+\partial_x^2u_md\tilde yd\tilde x\right\|+\|v_m(x_0,y_0)-v_n(x_0,y_0)\|_K$. [/mm] Der zweite Term ist nach Voraussetzung eine Cauchy-Folge. Der erste wieder wegen der Konvergenz und der Glattheit der [mm] $u_n$.
[/mm]
Diese Lösung stimmt jetzt hoffentlich... Vielleicht gibt es auch einen eleganteren Ansatz, aber mir fällt keiner ein...
Ich fürchte, dass diese Antwort für dich leider viel zu spät kommt, dass tut mir sehr leid. Aber ich hatte vorher einfach keine Möglichkeit mehr, auf deine Frage zu reagieren. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Ist dir jetzt wenigstens der Lösungsweg klarer?
Viele Grüße, banachella
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![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]"){kind=small}
