Konvergenz bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:44 Do 10.05.2012 | | Autor: | jackyooo |
| Aufgabe | | Sei die Folge (xn)neN rekursiv definiert durch [mm]x_0 := 0, x_{n+1}:=\frac{(x_n)^2-3}{(2x_n)-4}[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm] (X_n)_{n\in\IN} [/mm] konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert. |
Nabend,
konvergiert bedeutet doch, dass die gleichung bei [mm] \limes_{n \to \infty}x_n [/mm] gegen einen bestimmten Wert geht oder?
Wenn man hier aber [mm] x_n [/mm] ausklammert, folgt:
[mm]\frac{x_n(x_n-\frac{3}{x_n})} {x_n(2-\frac{4}{x_n})}[/mm]
Demnach kürzt sich das erste [mm] x_n [/mm] raus und ex bleibt:
[mm]\frac{x_n-\frac{3}{x_n}}{2-\frac{4}{x_n}}[/mm]
Die jeweiligen Subtrahenten streben gegen 0 und es bleibt [mm] x_n/2.
[/mm]
Wenn [mm] x_n [/mm] also unendlich wird, ist doch [mm] f(x_n) [/mm] auch unendlich oder nicht? Demnach konvergiert die Folge doch nicht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo jackyooo,
da sitzt Du einer Tautologie auf.
Du zeigst, dass [mm] x_{n+1} [/mm] gegen unendlich geht, wenn [mm] x_n [/mm] gegen unendlich geht. Mit andern Worten: Du zeigst nichts.
> Sei die Folge (xn)neN rekursiv definiert durch [mm]x_0 := 0, x_n+_1 := \frac{(x_n)^2-3}{(2_x_n)-4}[/mm].
> Zeigen Sie, dass [mm](X_n)neN[/mm] konvergiert und bestimmen Sie den
> Grenzwert.
> Nabend,
>
> konvergiert bedeutet doch, dass die gleichung bei [mm]\limes_{n \to \infty}x_n[/mm]
> gegen einen bestimmten Wert geht oder?
Jawoll.
> Wenn man hier aber [mm]x_n[/mm] ausklammert, folgt:
>
> [mm]\frac{x_n(x_n-\frac{3}{x_n})} {x_n(2-\frac{4}{x_n})}[/mm]
>
> Demnach kürzt sich das erste [mm]x_n[/mm] raus und ex bleibt:
>
> [mm]\frac{x_n-\frac{3}{x_n}}{2-\frac{4}{x_n}}[/mm]
Ganz richtig.
> Die jeweiligen Subtrahenten streben gegen 0 und es bleibt
> [mm]x_n/2.[/mm]
Moment.
Das gilt nur, wenn [mm] x_n [/mm] gegen unendlich geht. Das weißt Du aber noch nicht.
> Wenn [mm]x_n[/mm] also unendlich wird, ist doch [mm]f(x_n)[/mm] auch
> unendlich oder nicht? Demnach konvergiert die Folge doch
> nicht?
Wenn Deine (nicht benannte und übrigens auch nicht gerechtfertigte) Annahme stimmen würde, dann würde die Folge in der Tat nicht konvergieren. Mit anderen Worten: wenn die Folge nicht konvergiert, konvergiert die Folge nicht.
Geh mal anders dran. Wie überprüft man denn Konvergenz?
Übrigens streben [mm] x_n [/mm] und [mm] x_{n+1} [/mm] natürlich gegen den gleichen Grenzwert, sofern ein Grenzwert existiert. Was muss man dazu überprüfen? Und wie bestimmt man dann den Grenzwert?
Grüße
reverend
PS: Die Lösung hier ist 1. Du musst nur den Weg finden, wie man das bestimmt. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:03 Fr 11.05.2012 | | Autor: | reverend |
Auch 3 könnte eine Lösung sein, hier aber nicht. Wieso nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Fr 11.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Tipp: derartige Aufgaben riechen geradezu nach Monotoniekriterium.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mo 14.05.2012 | | Autor: | jackyooo |
Danke schonmal für die Antworten. Berichtigt mich, wenn ich falsch liege.
Die Folge konvergiert, wenn sie in diesem Fall monoton steigend ist sowie beschränkt.
Das Kriterium für Monotonie ist:
für neN gilt: [mm] a_n_+1 \ge a_n
[/mm]
Also:
[mm] \frac{x_n^2-3}{2x_n-4} \ge x_n
[/mm]
Ich hab versucht, die Gleichung durch pures Umformen zu lösen. Dann komme ich jedoch am Ende auf:
für [mm] x_n [/mm] > 2 gilt:
0 [mm] \ge x_n^2-4x_n+3
[/mm]
Nur was nützt mir das? Ich komme jetzt per PQ Formel auf
[mm] x_1=1 x_2=3
[/mm]
aber habe ich damit nicht die These widerlegt?
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Hallo jackyooo,
> Danke schonmal für die Antworten. Berichtigt mich, wenn
> ich falsch liege.
>
> Die Folge konvergiert, wenn sie in diesem Fall monoton
> steigend ist sowie beschränkt.
>
> Das Kriterium für Monotonie ist:
> für neN gilt: [mm]a_n_+1 \ge a_n[/mm]
>
> Also:
> [mm]\frac{x_n^2-3}{2x_n-4} \ge x_n[/mm]
>
> Ich hab versucht, die Gleichung durch pures Umformen zu
> lösen. Dann komme ich jedoch am Ende auf:
>
> für [mm]x_n[/mm] > 2 gilt:
> 0 [mm]\ge x_n^2-4x_n+3[/mm]
>
> Nur was nützt mir das? Ich komme jetzt per PQ Formel auf
> [mm]x_1=1 x_2=3[/mm]
> aber habe ich damit nicht die These
> widerlegt?
Nein.
Zunächst hast Du doch:
[mm]0 \ge \left(x_{n}-1\right)*\left(x_{n}-3\right)[/mm]
Der rechsstehende Ausdruck ist nun zu untersuchen,
wann dieser [mm]\le 0[/mm] ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Mo 14.05.2012 | | Autor: | jackyooo |
> Hallo jackyooo,
>
> > Danke schonmal für die Antworten. Berichtigt mich, wenn
> > ich falsch liege.
> >
> > Die Folge konvergiert, wenn sie in diesem Fall monoton
> > steigend ist sowie beschränkt.
> >
> > Das Kriterium für Monotonie ist:
> > für neN gilt: [mm]a_n_+1 \ge a_n[/mm]
> >
> > Also:
> > [mm]\frac{x_n^2-3}{2x_n-4} \ge x_n[/mm]
> >
> > Ich hab versucht, die Gleichung durch pures Umformen zu
> > lösen. Dann komme ich jedoch am Ende auf:
> >
> > für [mm]x_n[/mm] > 2 gilt:
> > 0 [mm]\ge x_n^2-4x_n+3[/mm]
> >
> > Nur was nützt mir das? Ich komme jetzt per PQ Formel auf
> > [mm]x_1=1 x_2=3[/mm]
> > aber habe ich damit nicht die These
> > widerlegt?
>
>
> Nein.
>
> Zunächst hast Du doch:
>
> [mm]0 \ge \left(x_{n}-1\right)*\left(x_{n}-3\right)[/mm]
>
> Der rechsstehende Ausdruck ist nun zu untersuchen,
> wann dieser [mm]\le 0[/mm] ist.
>
>
> Gruss
> MathePower
Das hab ich ja schon für x>2 definiert. Dann ist es [mm] \ge [/mm] 0, nur was sagt mir das jetzt?
Inwiefern hab ich damit einen Beweis erbracht?
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Hallo jackyooo,
> > Hallo jackyooo,
> >
> > > Danke schonmal für die Antworten. Berichtigt mich, wenn
> > > ich falsch liege.
> > >
> > > Die Folge konvergiert, wenn sie in diesem Fall monoton
> > > steigend ist sowie beschränkt.
> > >
> > > Das Kriterium für Monotonie ist:
> > > für neN gilt: [mm]a_n_+1 \ge a_n[/mm]
> > >
> > > Also:
> > > [mm]\frac{x_n^2-3}{2x_n-4} \ge x_n[/mm]
> > >
> > > Ich hab versucht, die Gleichung durch pures Umformen zu
> > > lösen. Dann komme ich jedoch am Ende auf:
> > >
> > > für [mm]x_n[/mm] > 2 gilt:
> > > 0 [mm]\ge x_n^2-4x_n+3[/mm]
> > >
> > > Nur was nützt mir das? Ich komme jetzt per PQ Formel auf
> > > [mm]x_1=1 x_2=3[/mm]
> > > aber habe ich damit nicht die
> These
> > > widerlegt?
> >
> >
> > Nein.
> >
> > Zunächst hast Du doch:
> >
> > [mm]0 \ge \left(x_{n}-1\right)*\left(x_{n}-3\right)[/mm]
> >
> > Der rechsstehende Ausdruck ist nun zu untersuchen,
> > wann dieser [mm]\le 0[/mm] ist.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Das hab ich ja schon für x>2 definiert. Dann ist es [mm]\ge[/mm] 0,
> nur was sagt mir das jetzt?
Zunächst steht da die umgeformte Ungleichung,.
Daraus ist der Bereich zu bestimmen für den diese Ungleichung wahr ist.
> Inwiefern hab ich damit einen Beweis erbracht?
Gruss
MathePower
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> Hallo jackyooo,
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> > > Hallo jackyooo,
> > >
> > > > Danke schonmal für die Antworten. Berichtigt mich, wenn
> > > > ich falsch liege.
> > > >
> > > > Die Folge konvergiert, wenn sie in diesem Fall monoton
> > > > steigend ist sowie beschränkt.
> > > >
> > > > Das Kriterium für Monotonie ist:
> > > > für neN gilt: [mm]a_n_+1 \ge a_n[/mm]
> > > >
> > > > Also:
> > > > [mm]\frac{x_n^2-3}{2x_n-4} \ge x_n[/mm]
> > > >
> > > > Ich hab versucht, die Gleichung durch pures Umformen zu
> > > > lösen. Dann komme ich jedoch am Ende auf:
> > > >
> > > > für [mm]x_n[/mm] > 2 gilt:
> > > > 0 [mm]\ge x_n^2-4x_n+3[/mm]
> > > >
> > > > Nur was nützt mir das? Ich komme jetzt per PQ Formel auf
> > > > [mm]x_1=1 x_2=3[/mm]
> > > > aber habe ich damit nicht
> die
> > These
> > > > widerlegt?
> > >
> > >
> > > Nein.
> > >
> > > Zunächst hast Du doch:
> > >
> > > [mm]0 \ge \left(x_{n}-1\right)*\left(x_{n}-3\right)[/mm]
> > >
> > > Der rechsstehende Ausdruck ist nun zu untersuchen,
> > > wann dieser [mm]\le 0[/mm] ist.
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
> > Das hab ich ja schon für x>2 definiert. Dann ist es [mm]\ge[/mm] 0,
> > nur was sagt mir das jetzt?
>
> Zunächst steht da die umgeformte Ungleichung,.
> Daraus ist der Bereich zu bestimmen für den diese
> Ungleichung wahr ist.
>
>
> > Inwiefern hab ich damit einen Beweis erbracht?
>
>
> Gruss
> MathePower
>
Naja, das gilt für n={1,2,3}. Nur was sagt mir das? Bei n=0 ist die Ungleichung falsch und bei n=4,5,.. ist sie auch falsch.
Bedeutet das nicht, dass bei n>3 die Folge nicht mehr monoton wachsend ist? Das kann ja nicht sein, denn sie ist ja gerade ab dem Wert streng monoton wachsend.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 16.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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