Konvergenz der p-Norm < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Fr 26.04.2013 | | Autor: | nbt |
| Aufgabe | Zeigen Sie für [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]f\in\IK^n[/mm]:
[mm]\parallel f \parallel_p \to \parallel f \parallel_\infty[/mm] für [mm]p\to\infty[/mm] |
Hi,
Ich hab bisher leider nur den Standardansatz:
Zu beweisen ist also: [mm]\forall\epsilon>0\exists q\in\IN\forall p>q: |\parallel f \parallel_p - \parallel f \parallel_\infty|=
|(\summe_{i=0}^{\infty}|f(i)|^p)^{\frac{1}{p}}-sup|f(i)||<\epsilon[/mm]
Mein Problem is, dass nicht gegeben ist, ob [mm]f[/mm] aus dem [mm]l^p[/mm] Raum ist oder nicht. Wenn die Summe dann divergieren sollte, seh ich auch ned ganz ein, warum der Abstand der Reihe zum Supremum der einzelnen Folgenglieder [mm]f(i)[/mm] beliebig klein werden kann. Es ist ja nicht gesagt, dass die Folge der f(i)'s selber divergiert.
Wär super, wenn mir jemand einen Denkanstoß gibt.
Danke für die Hilfe,
nbt
|
|
| |
|
Hallo nbt,
> Zeigen Sie für [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]f\in\IK^n[/mm]:
> [mm]\parallel f \parallel_p \to \parallel f \parallel_\infty[/mm]
> für [mm]p\to\infty[/mm]
> Hi,
> Ich hab bisher leider nur den Standardansatz:
> Zu beweisen ist also: [mm]\forall\epsilon>0\exists q\in\IN\forall p>q: |\parallel f \parallel_p - \parallel f \parallel_\infty|=
|(\summe_{i=0}^{\infty}|f(i)|^p)^{\frac{1}{p}}-sup|f(i)||<\epsilon[/mm]
>
> Mein Problem is, dass nicht gegeben ist, ob [mm]f[/mm] aus dem [mm]l^p[/mm]
> Raum ist oder nicht. Wenn die Summe dann divergieren
> sollte, seh ich auch ned ganz ein, warum der Abstand der
> Reihe zum Supremum der einzelnen Folgenglieder [mm]f(i)[/mm]
> beliebig klein werden kann. Es ist ja nicht gesagt, dass
> die Folge der f(i)'s selber divergiert.
> Wär super, wenn mir jemand einen Denkanstoß gibt.
> Danke für die Hilfe,
Im [mm]\IK^n[/mm] ist doch die Supremumsnorm auch Maximumnorm, also [mm]||f||_{\infty}=\max\limits_{i=1,..,n}|f_i|[/mm]
Weiter ist [mm]||f||_{\infty}^p\le\sum\limits_{i=1}^n|f_i|^p\le n\cdot{}||f||_{\infty}[/mm]
Wieso? Und hilft dir das weiter?
> nbt
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:12 Sa 27.04.2013 | | Autor: | nbt |
Sollte es nicht besser heißen:
[mm]\parallel f \parallel_\infty^p\le\summe_{i=1}^{n}|f(i)|^ p\le n\parallel f \parallel_\infty^p[/mm] also mit einem p in der Potenz auf der rechten Seite?
Dann ergibt auch alles Sinn:
[mm]\parallel f \parallel_\infty^p\le\summe_{i=1}^{n}|f(i)|^ p[/mm] (*) weil es in der Reihe ein [mm]j\in\IN[/mm] gibt, mit [mm]f(j)=max|f(i)|[/mm]. Durch Potenzieren mit p>0 verändert sich nix. Die anderen Summanden sind auch nur positiv, also ist die erste Ungleichung klar.
Die zweite Ungleichung
[mm]\summe_{i=1}^{n}|f(i)|^ p\le n\parallel f \parallel_\infty^p[/mm] (**) ergibt auch Sinn weil [mm]n\parallel f\parallel_\infty^p=\summe_{i=1}^{n}(\parallel f\parallel_infty^p)=\summe_{i=1}^{n}(max |f(i)|^p)[/mm] natürlich größer ist als [mm]\summe_{i=1}^{n}|f(i)|^ p[/mm].
Aber die zweite Ungleichung hilft nicht viel, weil n ja unendlich groß ist und damit die Aussage der Ungleichung trivial ist. Die erste Ungleichung hat mir insofern geholfen, als dass man beim Abschätzen die Betragsstriche weglassen kann, da folgt, dass [mm]\summe_{i=1}^{\infty}|f(i)|^p-\parallel f\parallel_\infty^p\ge0\gdw(\summe_{i=1}^{\infty}|f(i)|^p)^{\frac{1}{p}}-\parallel f\parallel_\infty\ge0[/mm].
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Sa 27.04.2013 | | Autor: | nbt |
Oh mann, hab erst einen Leichtsinnsfehler gemacht, jetz kapier ich Deine Hilfestellung:
[mm]\parallel f\parallel_\infty^p\le\summe_{i=1}^{n}|f(i)|^p\le n\parallel f\parallel_\infty^p
\gdw\parallel f\parallel_\infty\le(\summe_{i=1}^{n}|f(i)|^p)^\frac{1}{p}\le n^\frac{1}{p}\parallel f\parallel_\infty
\gdw\parallel f\parallel_\infty\le\limes_{p\rightarrow\infty}(\summe_{i=1}^{n}|f(i)|^p)^\frac{1}{p}\le\parallel f\parallel_\infty[/mm].
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 So 28.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Oh mann, hab erst einen Leichtsinnsfehler gemacht, jetz
> kapier ich Deine Hilfestellung:
> [mm]\parallel f\parallel_\infty^p\le\summe_{i=1}^{n}|f(i)|^p\le n\parallel f\parallel_\infty^p
\gdw\parallel f\parallel_\infty\le(\summe_{i=1}^{n}|f(i)|^p)^\frac{1}{p}\le n^\frac{1}{p}\parallel f\parallel_\infty
\gdw\parallel f\parallel_\infty\le\limes_{p\rightarrow\infty}(\summe_{i=1}^{n}|f(i)|^p)^\frac{1}{p}\le\parallel f\parallel_\infty[/mm].
>
> Vielen Dank!
Wenn Du aus dem letzten [mm] \gdw [/mm] ein [mm] \Rightarrow [/mm] machst, ist es O.K.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 29.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
