Konvergenz des cos < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Do 13.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich versuche gerade, die Konvergenz der Cosinus-Reihe zu zeigen, und scheitere kurz vor dem Schluss (glaube ich jedenfalls).
Im Buch steht, dass die Konvergenz direkt aus der Konvergenz von [mm] \exp [/mm] folgt, ich vermute aber, dass man es auch mit dem Quotientenkriterium zeigen kann:
[mm] |\bruch{a_n+1}{a_n}| [/mm] = [mm] |(-1)^{n+1}\bruch{x^{2n+2}}{(2n+2)!}*\bruch{1}{(-1)^n}*\bruch{(2n)!}{x^{2n}}| [/mm] = [mm] |(-1)*\bruch{x^2}{(2n+1)(2n+2)}|\le\theta
[/mm]
und nun fehlt mir ein [mm] \theta [/mm] (wobei natürlich sein muss [mm] 0<\theta<1). [/mm] Wer kann mir dabei helfen?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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Hallo Bastiane,
Wie war das noch was die ersten n Folgeglieder machen ist für die Konvergenz egal( naja solange es sie gibt und sie endlich sind  )
Nach diesem Motto kannst Du Dir ein [mm] \theta [/mm] raussuchen und einfach ein passendes n zu jedem x finden.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo Bastiane,
Du hattest ja folgendes als Problem übrig:
[mm] |(-1)\cdot{}\bruch{x^2}{(2n+1)(2n+2)}|\le\theta
[/mm]
So jetzt such ich mir mal [mm] \theta =\bruch{1}{4} [/mm] raus
[mm] |(-1)\cdot{}\bruch{x^2}{(2n+1)(2n+2)}|=\bruch{|x^2|}{|(2n+1)(2n+2)|}\le \bruch{1}{4}
[/mm]
Da die Beweisrichtung von unten nach oben ist kann man im Nenner was weglassen.
[mm] \bruch{|x^2|}{|(2n)(2n)|}\le \bruch{1}{4}
[/mm]
mit [mm] n^2 [/mm] multiplizieren und alles steht da.
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Do 13.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo mathemaduenn!
> Du hattest ja folgendes als Problem übrig:
> [mm]|(-1)\cdot{}\bruch{x^2}{(2n+1)(2n+2)}|\le\theta[/mm]
> So jetzt such ich mir mal [mm]\theta =\bruch{1}{4}[/mm] raus
ok - das hatte ich auch schon versucht...
> [mm]|(-1)\cdot{}\bruch{x^2}{(2n+1)(2n+2)}|=\bruch{|x^2|}{|(2n+1)(2n+2)|}\le \bruch{1}{4}[/mm]
Ich frage mich hier nur, was du mit (-1) gemacht hast. Ich hatte eigentlich gedacht, dass man das einfach weglassen kann, weil der Betrag davon ja =1 ist. Aber wieso nimmst du dann noch den Betrag von [mm] x^2? [/mm] Ist das nicht das gleiche wie ohne Betrag? Denn [mm] x^2 [/mm] ist doch immer positiv oder haben wir hier auch komplexe Zahlen!? Und im Nenner haben wir doch auch nur positive Zahlen, oder?
> Da die Beweisrichtung von unten nach oben ist kann man im
> Nenner was weglassen.
> [mm]\bruch{|x^2|}{|(2n)(2n)|}\le \bruch{1}{4}[/mm]
> mit [mm]n^2[/mm]
> multiplizieren und alles steht da.
Also, ich würde da jetzt mit [mm] 4n^2 [/mm] multiplizieren, dann erhalte ich [mm] $|x^2|\le |n^2|$ [/mm] - heißt das dann [mm] $x\le [/mm] n$ (Beträge sind nicht so mein Ding...).
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Do 13.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Liebe Christiane!
Nein, das heißt: $|x| \le n$.
Sprich: Für alle $n \in \IN$ mit $n \ge n_0:=[|x|]+1$ gilt (dies soll die Gauß-Klammer sein...):
$\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n}} \right\vert < \frac{1}{4} < 1$.
Aber Ecki hat vollkommen Recht. Die ganze Aktion ist hier ja sowas von überflüssig.
Für alle (festen!) $x \in \IR$ gilt ja:
(*) $\lim\limits_{n \to \infty} \left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert = \lim\limits_{n \to \infty} \left\vert \frac{x^2}{(2n+1)(2n+2)} \right\vert =0$.
Und dann ist es doch direkt klar, dass es ein $0< \theta<1$ und ein $n_0 \in \IN$ gibt mit
$\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert \le \theta < 1$
für alle $\n \in \IN$, $n \ge n_0$.
Da braucht man $\theta$ und $n_0$ doch nicht explizit zu bestimmen...
Für jedes noch so kleine $\theta>0$ findest du ein solches $n_0$.. eben wegen (*).
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Do 13.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ja, das weiß ich, nur finde ich leider nie ein n. Irgendwie
> kann ich das nicht. Könntest du mir da nicht noch einen
> Tipp geben?
Auch wenn die andere Lösung richtig ist - ich muss hier einfach mal erwähnen, dass das ganze einfach glas klar ist: der Term, den du abschätzen willst, konvergiert (für festes x!) einfach mal gegen 0 (und das siehst du hoffentlich). Damit ist dann schon alles fertig.
SEcki
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![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
