Konvergenz einer Fkt. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechen sie:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{( \bruch{cos (2x^{2})-1}{x^{4}}) + 2}{x}
[/mm]
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Hallo zusammen!
Kann mir bitte jemand den Rechenweg erklären wie ich diese Aufgabe lösen kann. Ich hab ganz und gar keine Ahnung!
Mein Ansatz wäre gewesen:
...= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^{5}}{cos(2x^{2})-1+2x^{4}}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^{5}}{2- \bruch{2x^{4}}{2!}+ \bruch{2x^{6}}{4!}-1+2x^{4}}=...= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{ \bruch{1}{x^{5}}- \bruch{2}{2!*x}+ \bruch{2x}{4!}+ \bruch{2}{x}}=O
[/mm]
Ich hab also versucht die Reihenentwicklung des cos bis zum dritten Term zu benutzen und dann rum zu rechnen.
Danke...
MFG
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Hallo F.Michael,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechen sie:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{( \bruch{cos (2x^{2})-1}{x^{4}}) + 2}{x}[/mm]
>
> Hallo zusammen!
>
> Kann mir bitte jemand den Rechenweg erklären wie ich diese
> Aufgabe lösen kann. Ich hab ganz und gar keine Ahnung!
>
> Mein Ansatz wäre gewesen:
>
> ...= [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^{5}}{cos(2x^{2})-1+2x^{4}}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^{5}}{2- \bruch{2x^{4}}{2!}+ \bruch{2x^{6}}{4!}-1+2x^{4}}=...= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{ \bruch{1}{x^{5}}- \bruch{2}{2!*x}+ \bruch{2x}{4!}+ \bruch{2}{x}}=O[/mm]
>
> Ich hab also versucht die Reihenentwicklung des cos bis zum
> dritten Term zu benutzen und dann rum zu rechnen.
Innerhalb des Limes bei der ersten Aufgabe steht aber was anderes.
Gruß
MathePower
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Hallo,
Ich habe dabei folgendes gemacht:
Da der erste Limes gegen Null geht, habe anstatt f(x) gegen Null, [mm] \bruch{1}{f(x)} [/mm] gegen unendlich gehen lassen. Dann habe ich umgeformt und dann mit der Reihenenwicklung des cos den eigentlich cos ersetzt. Dann mit [mm] \bruch{1}{x^{5}} [/mm] erweitert, so dass schließlich der letzt Term der so dachte ich gegen Null geht, wobei ich mir da auch nicht mehr so ganz sicher bin.
Kann mir da jemand Helfen, wie es richtig gehen würde? Ich habe auch schon daran gedacht, x durch eine andere Variable zu ersetzt, sehe aber nicht wie.
Bin für jede Hilfe sehr Dankbar!
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Hallo F.Michael!
Gehen wir es mal etwas anders an bzw. formen den "schönen" Doppelbruch zunächst um.
Aber die Idee mit der Reihenentwicklung als Alternative zu  de l'Hospital ist schon sehr gut ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ...
[mm] $\bruch{\bruch{\cos\left(2x^2\right)-1}{x^4} + 2}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{\cos\left(2x^2\right)-1+2x^4}{x^4}}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\cos\left(2x^2\right)-1+2x^4}{x^5}$
[/mm]
Nun für den [mm] $\cos(...)$ [/mm] die Reihenentwicklung einsetzen und anschließend Grenzwertbetrachtung (Grenzwert $0_$ ist richtig!).
Gruß vom
Roadrunner
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