Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:37 Mo 06.11.2006 | | Autor: | uxo |
| Aufgabe | | [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)(n+3)}{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{n^3}{n^2-1} [/mm] |
Hallo liebe Mitglieder!
Als zweites und letztes (versprochen!) soll ich nun obenstehende Folge auf Konvergenz und Monotonie untersuchen, und den Häufungspunkt angeben.
Dazu bin ich wie folgt vorgegangen:
Grenzwertberechnung:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)(n+3)}{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{n^3}{n^2-1}
[/mm]
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{(n^2+2n-3)(n^2-1)-n^3(n+1)}{(n+1)(n^2-1)}
[/mm]
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^4-n^2+2n^3-2n-3n^2+3-n^4-n^3}{(n+1)(n^2-1)}
[/mm]
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^3-4n^2-2n+3}{n^3+n^2-n-1}
[/mm]
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1-\bruch{4}{n} - \bruch{2}{n^2} + \bruch{3}{n^3}}{1 + \bruch{1}{n} - \bruch{1}{n^2} - \bruch{1}{n^3}}
[/mm]
Damit erhalte ich als Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = 1
Die Monotonie zeige ich, indem ich annehme, daß [mm] a_n \le a_{n+1} [/mm] :
Zuerst partialzerlege ich den Bruch [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^3-4n^2-2n+3}{n^3+n^2-n-1} [/mm] und erhalte 1 - [mm] \bruch{5n-4}{n^2-1}
[/mm]
1 - [mm] \bruch{5n-4}{n^2-1} \ge [/mm] 1 - [mm] \bruch{5n+1}{n^2+2n}
[/mm]
[mm] (5n-4)(n^2+2n) \ge (5n+1)(n^2-1) [/mm]
[mm] 5n^3+10n^2-4n^2-8n \ge 5n^3-5n+n^2-1 [/mm]
[mm] 6n^2-8n \ge n^2-5n-1 [/mm]
[mm] 5n^2-3n \ge -1 [/mm]
Wenn ich diese Quadratische Ungleichung jetzt löse, erhalte ich für [mm] n_1 [/mm] ~ 6 und für [mm] n_2 [/mm] ~ -5.
Aber was sagt mir das jetz bez. der Monotonie?
Nicht viel besser ergeht es mir beim Versuch, die Konvergenz der Folge zu beweisen:
| [mm] a_n [/mm] - a | < [mm] \epsilon
[/mm]
| 1 - [mm] \bruch{5n-4}{n^2-1} [/mm] - 1 | < [mm] \epsilon
[/mm]
| - [mm] \bruch{5n-4}{n^2-1} [/mm] | < [mm] \epsilon
[/mm]
Für [mm] n > 1 [/mm] :
[mm] \bruch{5n-4}{n^2-1} < \epsilon [/mm]
[mm] \bruch{5-\bruch{4}{n}}{n-\bruch{1}{n}} < \epsilon [/mm]
[mm] 5 < \epsilon(n-\bruch{1}{n})+\bruch{4}{n} [/mm]
[mm] \bruch{5}{\epsilon} < n-\bruch{1}{n}+\bruch{4}{\epsilon n} [/mm]
[mm] \bruch{5}{\epsilon} < \bruch{1}{n}(n^2-1+\bruch{4}{\epsilon} [/mm]
Hier komme ich nicht mehr weiter.
Würde mich sehr über Eure Hilfe freuen,
liebe Grüße,
Thomas.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Mo 06.11.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo uxo,
warum kuerzt du nicht beim ersten Summand $(n+1)$ ?
Wenn ich mich nicht irre, erhaelt man so [mm] $a_n=(3n^2-n-3)/(n^2-1)$.
[/mm]
hth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 09.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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