Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:10 So 06.01.2008 | | Autor: | hundert |
| Aufgabe | Sei [mm] F(x)=(x)/\sqrt{1+x^2} [/mm] für x [mm] \in \IR [/mm]
Zeigen sie: Eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in [mm] \IR [/mm] konvergiert genau dann gegen [mm] \infty, [/mm] wenn [mm] (F(x_n)) [/mm] gegen 1 konvergiert |
zu zeigen sind ja 2 richtungen. einmal geht man davon aus, (a) dass [mm] (x_n) [/mm] gegen unendlich konvergiert und dann daraus schließen kann, dass ( [mm] F(x_n) [/mm] ) gegen 1 konvergiert und dann (b) andersrum.
zu a hab ich gezeigt dass F(x) kleiner ist als 1 und das 1 die obere schranke ist. aber die andere richtung ist mir leider nicht ganz klar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:28 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Kalita |
Hallo, leider weiß ich nicht wie du das "gerechnet" ;) hast, aber sicher, dass du keine äquivalenzpfeile zwischen machen kannst? Denn es geht ja nur gegen 1 wenn du xn gegen unendlich laufen lässt. Also wenn du quasi 1 einsetzt ...
Ich hoffe du verstehst mich *g*... Leider kann ich nachher nicht nochmal reinsehen. Aber vll ist es ja doch ein wertvoller Tipp.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:20 Mo 07.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:04 Mo 07.01.2008 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
ich hoffe, du kannst die Antwort noch gebrauchen. Die eine Richtung ist ja klar, wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = [mm] \infty [/mm] ist, dann dürfte es nicht schwer sein zu zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} F(x_n)=1 [/mm] ist. (Einfach das [mm] x^2 [/mm] aus der Wurzel ziehen und den Bruch kürzen (es gibt ja unendlich viele [mm] x_n, [/mm] die echt ungleich Null sind!)
Für die andere Richtung schlage ich einen Beweis durch Widerspruch vor. Nimm an, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n=c<\infty [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} F(x_n)=1 [/mm] ist. Dann setze das in die Gleichung ein (bei der Multiplikation darf der Limes ja "verteilt" werden auf die Faktoren, also auch bei Potenzen und Wurzeln!).
Dann bekommst du nämlich als Ergebnis, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} F(x_n)=\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{c^2}}} [/mm] ist.
Und das kann nur gleich Eins sein, wenn [mm] c=\infty [/mm] ist, wobei das Gleichheitszeichen hier natürlich nur obligatorisch gemeint ist. Und dann hast du deinen Widerspruch!
Grüße
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