Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 So 02.11.2008 | | Autor: | Cecily |
| Aufgabe | | Es sei 0<q<1, x [mm] \in [/mm] R und [mm] (x_{n})_{n} \in [/mm] N eine Folge reeler Zahlen mit [mm] |x_{n+1}- [/mm] x| [mm] \le [/mm] q * [mm] |x_{n}-x| [/mm] für alle n [mm] \in [/mm] N. Zeigen Sie, dass die Folge gegen x konvergiert. |
Ich würde gerne Hinweise haben, wie man die Aufgabe lösen könnte...nur Hinweise...sitze nun schon wieder seit Stunden daran und komme nicht weiter. Leider haben wir in Informatik keine Tutorien für Analysis, in den Übungen werden nur unverständlich die Übungsaufgaben vorgerechnet (unsere Blätter werden nicht korrigiert & auch keine Musterlösungen ins Internet gestellt), zudem wird in der Vorlesung kein Stoff vermittelt.
Es ist also fraglich, ob ich alle Kenntnisse besitze, die ich bräuchte um die Aufgaben zu lösen...immerhin habe ich mich jetzt in mehreren Büchern intensiv mit Folgen beschäftigt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 So 02.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Cecily!
> Es sei 0<q<1, [mm]x \in R[/mm] und [mm](x_{n})_{n} \in N[/mm] eine Folge
> reeler Zahlen mit [mm]|x_{n+1}- x| \le q * |x_{n}-x|[/mm] für alle
> [mm]n \in N[/mm]. Zeigen Sie, dass die Folge gegen x konvergiert.
> Ich würde gerne Hinweise haben, wie man die Aufgabe lösen
> könnte...nur Hinweise...sitze nun schon wieder seit Stunden
> daran und komme nicht weiter. Leider haben wir in
> Informatik keine Tutorien für Analysis, in den Übungen
> werden nur unverständlich die Übungsaufgaben vorgerechnet
> (unsere Blätter werden nicht korrigiert & auch keine
> Musterlösungen ins Internet gestellt), zudem wird in der
> Vorlesung kein Stoff vermittelt.
Zunächst einmal: ist dir anschaulich klar, was du nachweisen sollst? Die Ungleichung
[mm]|x_{n+1}- x| \le q * |x_{n}-x|[/mm]
bedeutet doch, dass das $(n+1)$-te Folgenglied [mm] $x_{n+1}$ [/mm] näher bei x liegt als das n-te Folgenglied [mm] $x_n$. [/mm]
Es gilt sogar noch mehr: es liegt sogar immer um den Faktor $q<1$ näher.
Jetzt stell dir nicht nur zwei aufeinanderfolgende Glieder der Folge, sondern eine ganze Reihe davon vor und überlege dir, was für diese gilt:
[mm]\begin{array}{rl}
|x_{n+1}- x| &\le q * |x_{n}-x| \\
|x_{n}- x| &\le q * |x_{n-1}-x|\\
|x_{n-1}- x| &\le q * |x_{n-2}-x|\\
&\dots\\
|x_{3}- x| &\le q * |x_{2}-x|\\
|x_{2}- x| &\le q * |x_{1}-x|
\end{array}[/mm]
Kannst du diese Ungleichungen irgendwie zusammenfassen? Wenn du das tust, dann kannst du daraus recht einfach die Behauptung beweisen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 So 02.11.2008 | | Autor: | Cecily |
Geht das dann in Richtung Reihe, wo man wiederum die Konvergenz mit einem Reihenkonvergenzkriterium beweist?
Reihen kann ich noch gar nicht :/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 So 02.11.2008 | | Autor: | Cecily |
Vielen Dank bisher, ich habe nur gerade das schlimme Gefühl, es ist bei mir alles komplett sinnlos :( Ich verstehs sowieso nicht...natürlich kann das mit Reihen schreiben, aber da ich nichts über Reihen weiß und offenbar auch ansonsten nicht schlau genug bin, muss ich wohl aufgeben :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 So 02.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Cecily!
> Vielen Dank bisher, ich habe nur gerade das schlimme
> Gefühl, es ist bei mir alles komplett sinnlos :( Ich
> verstehs sowieso nicht...natürlich kann das mit Reihen
> schreiben, aber da ich nichts über Reihen weiß und offenbar
> auch ansonsten nicht schlau genug bin, muss ich wohl
> aufgeben :(
Nur nicht aufgeben!
Tipp: Setz doch mal
[mm] |x_n-x|\le q |x_{n-1}-x | [/mm]
in
[mm] |x_{n+1}-x|\le q |x_{n}-x | [/mm]
ein!
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 So 02.11.2008 | | Autor: | Cecily |
Hab ich auch versucht, hilft alles nichts :/
Ist hoffnunglos. Aber trotzdem vielen Dank für die Mühe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 So 02.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Cecily!
> Hab ich auch versucht, hilft alles nichts :/
Mach's einfach mal weiter:
[mm] |x_{n+1} -x | \le q |x_n -x | \le q * q * |x_{n-1} -x | \le q^3 *|x_{n-2} -x | \le q^4 *|x_{n-3}-x| \dots [/mm]
Was steht nach n Schritten da?
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 So 02.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Cecily!
> Geht das dann in Richtung Reihe, wo man wiederum die
> Konvergenz mit einem Reihenkonvergenzkriterium beweist?
Nein, gar nicht. Es geht darum, aus der rekursiven Abschätzung [mm] $|x_{n+1}-x| \le q*|x_n-x|$ [/mm] eine nichtrekursive zu machen, das heißt, etwas in der Art
[mm] |x_{n+1}-x| \le f(n) [/mm]
mit irgendeinem Ausdruck $f(n)$ rechts, in dem nur noch n und von n unabhängige Größen vorkommen.
> Reihen kann ich noch gar nicht :/
Kommt noch. 
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 So 02.11.2008 | | Autor: | Cecily |
Noch eine Frage:
Was beweise ich denn dadurch, dass linke Seite <= f(n)?
Nur die Beschränktheit oder schon die Konvergenz?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 So 02.11.2008 | | Autor: | Cecily |
Denkfehler...bitte NICHT auf den vorigen Beitrag antworten...
natürlich kann ich so nicht die Beschränktheit beweisen...
Also, ich kann mir zumindest jetzt vorstellen, dass/warum die linke Seite IMMER unter einem bestimmten Wert liegt. Zudem gibt mir das q die Möglichkeit, eine feste Zahl beliebig klein zu machen, indem man sie mit möglichst kleinem q>0 malnimmt. Aber das reicht vermutlich nicht :/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 So 02.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Cecily!
> Denkfehler...bitte NICHT auf den vorigen Beitrag
> antworten...
Zu spät
> natürlich kann ich so nicht die Beschränktheit beweisen...
>
> Also, ich kann mir zumindest jetzt vorstellen, dass/warum
> die linke Seite IMMER unter einem bestimmten Wert liegt.
> Zudem gibt mir das q die Möglichkeit, eine feste Zahl
> beliebig klein zu machen, indem man sie mit möglichst
> kleinem q>0 malnimmt. Aber das reicht vermutlich nicht :/
Sogar mit irgendeinem q, solange es nur kleiner als 1 ist, wegen der Potenzen von q. Das ist die Idee dabei.
Schreib doch mal auf, was du bisher hast.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 So 02.11.2008 | | Autor: | Cecily |
(Also auf eine tolle Funktion auf der rechten Seite komme ich nicht :/
Ich habe mir allerdings auf deine Anregung hin folgendes überlegt:
Man schreibt, wie du gesagt hast, diese Gleichungen untereinander.
[mm] |x_{n+1}-x| \le [/mm] q * [mm] |x_{n}-x|
[/mm]
[mm] |x_{n+2}-x| \le [/mm] q * [mm] |x_{n+1}-x|
[/mm]
[mm] |x_{n+3}-x| \le [/mm] q * [mm] |x_{n+2}-x|
[/mm]
....
Wenn man diese Ungleichungen addiert, egal wie oft, werden sich immer alle bis auf zwei "Glieder", nämlich die rechte Seite in der ersten Zeile, und die linke Seite in der letzten Zeile, gegeneinander kürzen.
Dadurch, dass ich diese Addition ja beliebig oft durchführen kann, zeige ich die Gültigkeit für die linke Seite nicht nur für ein [mm] x_{n+1}, [/mm] wobei die recdhte Seite [mm] x_{n}, [/mm] sondern auch für [mm] x_{n+m}.
[/mm]
Wenn ich rechts z.B. n = 0 festsetze, dann stimmt die Gleichung für jedes m auf der linken Seite. Da der Grenzwert einer Folge ebenfalls fest ist, kann ich rechts einen festen Wert setzen, also z.B. [mm] |x_{0} [/mm] - x|. Die linke Seite wird immer unter diesem Wert liegen. Durch das q habe ich die Möglichkeit, die rechte Seite beliebig zu verkleinern, je kleiner ich q wähle. (ich kann ja sagen, dass der Grenzwert feste Zahl * q für q->0 0 ist)Die rechte Seite ist dann quasi wie ein [mm] \varepsilon.
[/mm]
Naja, besser hab ichs nicht hingekriegt :/ Aber die Grundüberlegung müsste doch stimmen, oder?
)
Edit: Ok, ich nehme wieder alles zurück, ich kann ja gar nicht kürzen, solange dieses q* immer davor steht. sorry.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 So 02.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Cecily!
> (Also auf eine tolle Funktion auf der rechten Seite komme
> ich nicht :/
>
> Ich habe mir allerdings auf deine Anregung hin folgendes
> überlegt:
>
> Man schreibt, wie du gesagt hast, diese Gleichungen
> untereinander.
>
> [mm]|x_{n+1}-x| \le[/mm] q * [mm]|x_{n}-x|[/mm]
> [mm]|x_{n+2}-x| \le[/mm] q * [mm]|x_{n+1}-x|[/mm]
> [mm]|x_{n+3}-x| \le[/mm] q * [mm]|x_{n+2}-x|[/mm]
> ....
>
> Wenn man diese Ungleichungen addiert, egal wie oft, werden
> sich immer alle bis auf zwei "Glieder", nämlich die rechte
> Seite in der ersten Zeile, und die linke Seite in der
> letzten Zeile, gegeneinander kürzen.
> Dadurch, dass ich diese Addition ja beliebig oft
> durchführen kann, zeige ich die Gültigkeit für die linke
> Seite nicht nur für ein [mm]x_{n+1},[/mm] wobei die recdhte Seite
> [mm]x_{n},[/mm] sondern auch für [mm]x_{n+m}.[/mm]
>
> Wenn ich rechts z.B. n = 0 festsetze, dann stimmt die
> Gleichung für jedes m auf der linken Seite. Da der
> Grenzwert einer Folge ebenfalls fest ist, kann ich rechts
> einen festen Wert setzen, also z.B. [mm]|x_{0}[/mm] - x|. Die linke
> Seite wird immer unter diesem Wert liegen. Durch das q habe
> ich die Möglichkeit, die rechte Seite beliebig zu
> verkleinern, je kleiner ich q wähle. (ich kann ja sagen,
> dass der Grenzwert feste Zahl * q für q->0 0 ist)Die rechte
> Seite ist dann quasi wie ein [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Naja, besser hab ichs nicht hingekriegt :/ Aber die
> Grundüberlegung müsste doch stimmen, oder?
> )
>
>
> Edit: Ok, ich nehme wieder alles zurück, ich kann ja gar
> nicht kürzen, solange dieses q* immer davor steht. sorry.
Nicht so einfach. Du könntest versuchen, mit Hilfe der Dreiecksungleichung eine Abschätzung herzuleiten, aber das scheint mir kompliziert.
Einfacher ist es, direkt einzusetzen:
[mm] |x_{n+1} -x | \le q |x_n -x | \le q * q * |x_{n-1} -x | \le q^3 *|x_{n-2} -x | \le q^4 *|x_{n-3}-x| \dots [/mm]
Das führt zu:
[mm] |x_{n+1} -x | \le q^m | x_{n+1-m} -x | \implies |x_{n+1} -x | \le q^n |x_1 -x | [/mm]
Wenn ich jetzt [mm] $M:=|x_1 [/mm] -x | $ abkürze, haben wir
[mm] |x_{n+1} -x | \le M* q^n [/mm]
Kannst du daraus die Konvergenz herleiten?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 So 02.11.2008 | | Autor: | Cecily |
Ah, ok, danke!
Sehr krass, da wäre ich auch nach zwei Wochen durchgängigen Überlegens nicht draufgekommen... :( :( :( :( aber jetzt weiß ich immerhin endlich, was du mit "Einsetzen" meinst. Der zweite Schritt fiel mir zunächst auch schwer, also von [mm] q^m [/mm] zu [mm] q^n.
[/mm]
Vielen Dank jedenfalls!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 So 02.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Cecily!
> Noch eine Frage:
>
> Was beweise ich denn dadurch, dass linke Seite <= f(n)?
>
> Nur die Beschränktheit oder schon die Konvergenz?
Dadurch, dass rechts nur noch eine Funktion f(n) steht, hast du eine Abschätzung für jedes einzelne Folgenglied. Vorher hattest du nur eine Abschätzung durch das Folgenglied vorher.
Für die Konvergenz musst du nun zeigen, dass [mm] $|x_n-x|$ [/mm] beliebig klein wird, wenn n immer größer wird.
Weil $0<q<1$ ist, kannst du mit der Abschätzung die Konvergenz nachweisen.
Viele Grüße
Rainer
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