Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:03 Mi 25.11.2009 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
die angegebene Folge galt es auf Konvergenz zu untersuchen. Da sie der letzte Aufgabenteil einer Aufgabengruppe mit ausschließlich rekursiven Folgen war, gehe ich davon aus, dass ein Ansatz über rekursive Folgen gewählt werden musste.
Ich habe die Folge also zunächst mal als rekursive Folge [mm] a_{n+1}=a_{n}-C(n) [/mm] mit [mm] a_{1}=1,5 [/mm] umgeformt.
Sowohl Monotonie als auch Konvergenz sind nun für mich offensichtlich - ich ziehe ständig "was" von [mm] a_{n} [/mm] ab, das "was" geht gegen 0 und somit ziehe ich jedes Mal etwas weniger ab.
Leider habe ich keinen Satz finden können, den ich hier nun anwenden kann. Ich habe es "klassisch" versucht, wie ich es von anderen Aufgaben dieser Art gewohnt bin - [mm] a=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} [/mm] setzen, doch da kürzt sich das [mm] a=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] weg und ich erhalte den ...=0, allerdings ohne jegliche a.
Der übliche Weg scheint hier also nicht zu funktionieren. Ich habe außerdem vergeblich versucht, per Induktion aus [mm] a_{n}\ge{ln2} [/mm] -> [mm] a_{n+1}\ge{ln2} [/mm] zu folgern. Auch hier fiel stets alles mit a weg.
Bitte um Hilfe!
Danke!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Hallo,
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> die angegebene Folge galt es auf Konvergenz zu untersuchen.
Hallo,
es wäre schön, könnte man wenigstens die Aufgabenstellung getippt hier lesen.
Die Folge ist offensichtlich nach unten beschränkt durch die 0,
und Du kannst leicht zeigen, daß [mm] a_n-a_{n+1}>0, [/mm] also monoton fallend. und zwar funktioniert das direkt, mit der expliziten Darstellung der Funktion.
Bist Du Dir sicher, daß Du den Grenzwert angeben mußt? Wenn nicht ausdrücklich danach gefragt ist, mußt Du's nicht.
Falls Du den Grenzwert auch brauchst: mir ist dazu noch nichts eingefallen.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:17 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
Nur zur Info: Deine Rechnung enthaelt meiner Meinung nach mindestens zwei Vorzeichenfehler!
So dann wollen wir mal etwas Licht ins Dunkle bringen und die Aufgabe mal "ordentlich" zusammenfassen: Um den Grnezwert zu berechnen, musst Du [mm] $a_n$ [/mm] zunaechst vereinfachen
[mm] $a_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}=a_{n-1}-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}=a_{n-1}+\frac{1-3n}{2(2n-1)(n-1)n}=a_{n-1}+\frac{1-3n}{4n^3-6n^2+2n}$
[/mm]
[mm] $=\cdots=a_2+\sum_{k=2}^{n}\frac{1-3k}{4k^3-6k^2+2k}\overset{n\to\infty}{\rightarrow}\frac{3}{2}+\left(-\frac{3}{2}+\ln(2)\right)=\ln(2)$
[/mm]
Es bleibt (fuer Dich) zu zeigen, dass die Reihe (deren Summanden bei Dir Vorzeichenfehler enthielten) gegen den von mir aufgefuehrten Grenzwert konvergiert. Dazu musst Du die Reihe vermutlich (!!!) so umformen, dass Du anschliessend eine Art Potenzreihe des Logarithmus naturalis erhaelst. Wie genau Du vorgehen musst, kann ich Dir aber momentan nicht sagen. Versuch's erst einmal selbst.
Gruss
Denny
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