Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 So 11.12.2011 | | Autor: | Willow89 |
| Aufgabe | Untersuche Sie die Folge (bn)n [mm] \varepsilon \IN [/mm] mit
bn:= (2- [mm] 2^{n*(-1)^n}) [/mm] * Re [mm] (1+i^n) [/mm] |
Hallo zusammen,
leider bin ich mir schon gleich am Anfang dieser Aufgabe unsicher.
Und zwar bei Re ( [mm] 1+i^n).
[/mm]
Auf den ersten Blick wurde ich einfach sagen, dass der Realteil davon 1 ist.
Aber je nachdem wie groß n ist, könnte der Realteil doch auch 0 oder 2 sein, je nachdem ob n gerade oder ungerade,oder liege ich da falsch?
Vielleicht kann mir da ja jemand einen Tipp geben, damit ich dann auch mal anfangen kann die Folge wirklich auf Konvergenz zu untersuchen.
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 So 11.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> Untersuche Sie die Folge (bn)n [mm]\varepsilon \IN[/mm] mit
> bn:= (2- [mm]2^{n*(-1)^n})[/mm] * Re [mm](1+i^n)[/mm]
> Hallo zusammen,
> leider bin ich mir schon gleich am Anfang dieser Aufgabe
> unsicher.
> Und zwar bei Re ( [mm]1+i^n).[/mm]
> Auf den ersten Blick wurde ich einfach sagen, dass der
> Realteil davon 1 ist.
Der erste Blick täuscht! Nicht überall wo $i$ dransteht, ist auch $i$ drin!
> Aber je nachdem wie groß n ist, könnte der Realteil doch
> auch 0 oder 2 sein, je nachdem ob n gerade oder
> ungerade,oder liege ich da falsch?
Da liegst Du ganz richtig!
>
> Vielleicht kann mir da ja jemand einen Tipp geben, damit
> ich dann auch mal anfangen kann die Folge wirklich auf
> Konvergenz zu untersuchen.
[mm] $(b_n)$ [/mm] konvergiert nach Deiner Entdeckung genau dann, wenn der Faktor davor was macht? Und macht er das?
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Willow89 |
Danke für die schnelle Antwort.
Dann hab ich also 3 Fälle zu unterscheiden:
1.Fall: n ist durch 2 teilbar
Dann gilt Re [mm] (1+i^n)=Re(0)= [/mm] 0
Dann ist (bn) die Nullfolge und somit konvergent mit dem Grenzwert 0.
2.Fall: n ist durch 4 teilbar
Dann gilt Re [mm] (1+i^n)=Re(1+1)=Re(2)=2
[/mm]
Dann ist (bn)=4-2^(n+1) (da [mm] (-1)^n=1 [/mm] für n gerade
Die Folge müsste ja eigentlich divergieren, aber wie kann ich das zeigen bzw. wo muss ich da ansetzen??
3.Fall: n ist ungerade
Dann gilt [mm] Re(1+i^n)= [/mm] 1, da [mm] Re(1+i^n)=Re(1+i) [/mm] oder [mm] Re(1+i^n)=Re(1-i)
[/mm]
Dann ist [mm] (bn)=2-2^{n*(-1)^n}.
[/mm]
Die folge müsste ebenfalls divergieren.
Aber ich weiß nicht so recht, wie ich zeigen soll, dass eine Folge divergiert. Gibt es da einen Trick.
Ich wüsste z.b nur, dass man zeigen kann, dass eine Folge zwei konvergente Teilfolgen hat (z.b die Folge [mm] (-1)^n), [/mm] aber hier kann ich keine Häufungspunkte finden.
Ist die Fallunterscheidung sonst soweit richtig?
Danke für deine Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Helbig |
Genau genommen hast Du vier Fälle, je nachdem welchen Rest $n$ bei der Division durch 4 läßt, nämlich
$n [mm] \mod [/mm] 4 = 0$, also $n=4k$ für ein [mm] $k\in\IN$
[/mm]
$n [mm] \mod [/mm] 4 = 1$, also $n=4k+1$
$n [mm] \mod [/mm] 4 = 2$, also $n=4k+2$
$n [mm] \mod [/mm] 4 = 3$, also $n=4k+3$.
Dann ist der Reihe nach [mm] $i^n=1, [/mm] i, -1, -i$ und der Realteil von [mm] $1+i^n$ [/mm] ist $2, 1, 0, 1$
Du zeigst, daß eine Folge divergiert, wenn sie unbeschränkt ist, also eine Teilfolge hat, die gegen [mm] $+\infty$ [/mm] konvergiert. Welche der Teilfolgen [mm] $(b_{4k})$, $(b_{4k+1})$, $(b_{4k+2})$ [/mm] und [mm] $(b_{4k+3})$ [/mm] tun dies?
Gruß
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Willow89 |
Ah okay, das stimmt. Ich hatte den 2. und 3. Fall zusammengefasst.
Also die Teilfolge (b4k) konvergiert, da Nullfolge.
Die Teilfolge (b4k+1) divergiert meiner Meinung nach, denn da hab ich die Teilfolge (b4k+1)= [mm] 2-2^{n*(-1)^n} [/mm] . Aber wie soll ich das korrekt begründen?Kann ich mit den Grenzwertsätzen sagen, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 2-2^{n*(-1)^n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 2 - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 2^{n*(-1)^n} [/mm] = 2 - t $ [mm] +\infty [/mm] $ ??
Irgendwie finde ich das noch nicht so ganz schlüssig... :-(
Die Teilfolge (b4k+2) divergiert ebenfalls, denn es gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 4- 2^(n+1) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 4 - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 2^(n+1) = t $ [mm] +\infty [/mm] $
Und die Teilfolge (b4k+3) ist genauso wie die Teilfolge (b4k+1)
Stimmt das alles soweit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> Ah okay, das stimmt. Ich hatte den 2. und 3. Fall
> zusammengefasst.
>
> Also die Teilfolge (b4k) konvergiert, da Nullfolge.
Falsch. Da sind die Realteile doch immer 2. Nun ist für gerade $n$, also in diesem und dem übernächsten Fall, [mm] $2^{n*(-1)^n}=2^n$. [/mm] Und dies strebt gegen unendlich und damit divergiert die Teilfolge gegen [mm] $-\infty$.
[/mm]
Die anderen Teilfolgen braucht man jetzt gar nicht mehr zu untersuchen, denn wenn eine Teilfolge divergiert, divergiert auch die gesamte Folge.
>
> Die Teilfolge (b4k+1) divergiert meiner Meinung nach, denn
> da hab ich die Teilfolge (b4k+1)= [mm]2-2^{n*(-1)^n}[/mm] . Aber wie
> soll ich das korrekt begründen?
Das kann keiner begründen, weil es falsch ist. Denn für ungerade $n$ ist [mm] $2^{n*(-1)^n}=2^{-n}=\bruch [/mm] 1 [mm] {2^n}$ [/mm] und dies konvergiert gegen $0$, so daß diese Teilfolge gegen $2$ konvergiert.
> Die Teilfolge (b4k+2) divergiert ebenfalls, denn es gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 4- 2^(n+1) =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 4 - [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> 2^(n+1) = t [mm] +\infty[/mm]
Nein. Diese Teilfolge ist konstant $0$, weil die Realteile immer $0$ sind.
>
> Und die Teilfolge (b4k+3) ist genauso wie die Teilfolge
> (b4k+1)
Das stimmt jetzt. Beide Teilfolgen konvergieren.
Gruß,
Wolfgang
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