Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Mo 07.05.2012 | | Autor: | rolo4 |
| Aufgabe | Für [mm] n\in \IN [/mm] x>-1 definieren wir
[mm] f_n(x)= (1+x^{n})^{1/n} [/mm] und f(x)=max(1,x)
Zeigen Sie:
a) Für ein beliebiges [mm] \beta>0 [/mm] konvergiert [mm] f_n [/mm] gleichmäßig gegen f bezüglich [mm] x\in[0,\beta]
[/mm]
b)Für [mm] x\in[0,\infty] [/mm] existiert punktweise der Grenzwert g(x)= [mm] \limes_{n\rightarrow}fn'(x)
[/mm]
Für welche Intervalle [mm] I=[\alpha,\beta] \subset [0,\infty] [/mm] ist die Konvergenz gleichmäßig? Was können Sie über die Grenzfunktion f auf diesen Intervallen aussagen? |
Meine Idee für a:
Für die gleichmäßige Konvergenz muss ja gelten: [mm] ||f_n-f||=0 \gdw ||(1(+x^{n})^{1/n}- [/mm] max(1,x)||= 0 [mm] \gdw ||((1+x^{n})^{1/n}||- [/mm] max(1,x)= 0
Außerdem gilt ja: Für [mm] f_n\in(-1,\infty) \limes_{n\rightarrow-1}f_n=1 [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n=\infty
[/mm]
[mm] f_n [/mm] besitzt also als globales Maximum nach rechts [mm] \alpha [/mm] und nach links 1
dann wird ja sup| [mm] f_n(x) [/mm] | : [mm] \alpha [/mm] für x>1 und 1 für [mm] x\le1
[/mm]
Ist der Ansatz so richtig? Und habt ihr eine Idee wie ich an b) herangehen kann? Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:38 Di 08.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Für [mm]n\in \IN[/mm] x>-1 definieren wir
> [mm]f_n(x)= (1+x^{n})^{1/n}[/mm] und f(x)=max(1,x)
>
> Zeigen Sie:
> a) Für ein beliebiges [mm]\beta>0[/mm] konvergiert [mm]f_n[/mm]
> gleichmäßig gegen f bezüglich [mm]x\in[0,\beta][/mm]
> b)Für [mm]x\in[0,\infty][/mm] existiert punktweise der Grenzwert
> g(x)= [mm]\limes_{n\rightarrow}fn'(x)[/mm]
>
> Für welche Intervalle [mm]I=[\alpha,\beta] \subset [0,\infty][/mm]
> ist die Konvergenz gleichmäßig? Was können Sie über die
> Grenzfunktion f auf diesen Intervallen aussagen?
>
> Meine Idee für a:
>
> Für die gleichmäßige Konvergenz muss ja gelten:
> [mm]||f_n-f||=0 \gdw ||(1(+x^{n})^{1/n}-[/mm] max(1,x)||= 0 [mm]\gdw ||((1+x^{n})^{1/n}||-[/mm]
> max(1,x)= 0
ja, das musst du zeigen, aber wohl abhaengig von x die 1 oder x
> Außerdem gilt ja: Für [mm]f_n\in(-1,\infty) \limes_{n\rightarrow-1}f_n=1[/mm]
da verstehe ich ueberhaupt nicht was du meinst.
was soll [mm] f_n\in(-1,\infty) [/mm] bedeuten, und was dann [mm] \limes_{n\rightarrow-1}f_n=1[/mm] [/mm] ? n kann doch nicht gegen -1 laufen
> und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_n=\infty[/mm]
und auch das verstehe ich nicht, fuer welchr x soll das gelten?
> [mm]f_n[/mm] besitzt also als globales Maximum nach rechts [mm]\alpha[/mm]
woher kommt das [mm] \alpha [/mm] ploetzlich?
> und nach links 1
was meinst du mit globales max nach links und rechts?
> dann wird ja sup| [mm]f_n(x)[/mm] | : [mm]\alpha[/mm] für x>1 und 1 für
> [mm]x\le1[/mm]
wo und wie hast du das gezeigt?
> Ist der Ansatz so richtig? Und habt ihr eine Idee wie ich
> an b) herangehen kann?
erstmal [mm] f_n [/mm] differenzieren, findest du ne Grenzfunktion?
Gruss leduart
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