Konvergenz einer Folge [0,5;1] < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Sa 05.11.2005 | | Autor: | tempo |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
also aufgabe lautet:
Zeigen Sie, daß die Folge [mm] (x_{n}) n\in\IN [/mm] mit [mm] x_{n}= \bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+1}+...+\bruch{1}{2n}
[/mm]
gegen einen Grenzwert im Intervall [mm] [\bruch{1}{2},1] [/mm] konvergiert.
Also zunächst war mein problem das [mm] \bruch{1}{n} [/mm] divergent ist, bis wir die konvergenz von beschränkten folgen besprochen hatten, also hate sich das erledigt; nun habe ich aber immer noch ein problem zu beweisen das die folge in einem intervall konvergiert.
durch einsetzten von n+1 bin ich auf (zb. für n=2: [mm] \bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}>2*\bruch{1}{4}=\bruch{1}{2} [/mm] oder für n=3: [mm] \bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}>3*\bruch{1}{6}=\bruch{1}{2} [/mm] usw.) [mm] \bruch{1}{n+1}+...+\bruch{1}{2n}\ge n*\bruch{1}{2n}=\bruch{1}{2} [/mm] gekommen (falls man das so überhaupt beweisen darf) nun habe ich aber wie gesagt probleme mit dem intervall; bzw. mit der 1 im intervall. denn wenn ich z.B. n=1 setzte bekomme ich in der obersten formel >1 raus!? wie komme ich denn bitte auf diese 1?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo tempo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Ich glaube, hier hast Du die Aufgabenstellung etwas falsch verstanden.
Du sollst für diese Folge [mm] $x_n [/mm] \ := \ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=n}^{2n}\bruch{1}{k}$ [/mm] zeigen, dass der Grenzwert innerhalb des Intervalles [mm] $\left[ \ \bruch{1}{2}; 1\right]$ [/mm] liegt.
Damit musst Du also zeigen dass ab einem bestimmten $n_$ (z.B. $n \ =\ 3$) folgende Relation vorliegt / gilt:
[mm] $\bruch{1}{2} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] x_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$
Dies kann man sich ja mal klarmachen (andeuten), indem man sich die ersten Glieder der Folge [mm] $x_n$ [/mm] mal aufschreibt:
[mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{2}$
[/mm]
[mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{13}{12}$
[/mm]
[mm] $x_3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{19}{20} [/mm] \ [mm] \red{< \ 1}$
[/mm]
[mm] $x_4 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6} [/mm] + [mm] \bruch{1}{7} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{743}{840} [/mm] \ [mm] \red{< \ 1}$
[/mm]
Dies kannst Du zeigen z.B. mittels vollständiger Induktion. Dafür musst Du halt zwei Nachweise führen für [mm] $x_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$ bzw. [mm] $x_n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:57 So 06.11.2005 | | Autor: | tempo |
vielen dank erstmal für den hinweis;
im moment versuche ich durch das Cauchysches Konvergenzkriterium [mm] (|x_n-a|<\varepsilon) [/mm] mit [mm] \varepsilon=\bruch{1}{4} [/mm] und [mm] a=\bruch{3}{4} [/mm] auf das intervall zu kommen, allerdings scheint mir das vorgehen irgendwie trivial da ich das [mm] x_n [/mm] gar nicht "brauche" (d.h. um 0,75 mit einem intervall von 0,25 komme ich ja immer auf 1 und 0,5...) oder darf ich da einfach [mm] |\summe_{k=n}^{2n}\bruch{1}{k}-0,75|<0,25 [/mm] schreiben???
damit hätte ich (nach der fallunterscheidung des bruchs)
(1): [mm] \summe_{k=n}^{2n}\bruch{1}{k}<1 [/mm] (z.b. ab n=3 erfüllt)
(2): [mm] \summe_{k=n}^{2n}\bruch{1}{k}>0,5 [/mm]
habe irgendwie das gefühl das ich da was übersehen habe (denn wie gesagt habe ich [mm] x_n [/mm] gar nicht richtig gebraucht...)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo tempo!
Also, was du hier machst, geht schon mal gar nicht.  Dafür müsste man ja wissen (was zudem falsch ist), dass $a=0.75$ der Grenzwert ist.
Vollständige Induktion funktioniert allerdings auch nicht.
Ich habe mir jetzt aber eine Lösung überlegt:
Für hinreichend großes $n$ gilt:
[mm] $\sum\limits_{k=n}^{2n} \frac{1}{k} \le \int\limits_{n-1}^{2n-1} \frac{1}{x}\, [/mm] dx = [mm] \ln(2n-1)- \ln(n-1) [/mm] = [mm] \ln \left( \frac{2n-1}{n-1} \right) [/mm] < 1$
wegen [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{2n-1}{n-1} [/mm] = 2<e$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:10 Mo 07.11.2005 | | Autor: | tempo |
wow! danke das verstehe ja sogar ich ;)
aber: muss ich die grenzen von "n-1" bis "2n-1" nehmen? es wäre doch auch von "n-1" bis "2n" möglich oder? (ist ja dann immer noch grösser weil ich "1 vor n" anfange und wäre sogar für alle "n" (und nicht nur für hinreichend grosse) gültig?!?) und für die grenzen von "n" bis "2n" wäre das ja dann nicht zwangsläufig [mm] "\ge" [/mm] (bzw. [mm] "\le") [/mm] sehe ich das richtig?
-danke nochmals, hat echt geholfen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:50 Do 10.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo tempo!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Gruß
Loddar
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