Konvergenz einer Folge ab N<n < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man soll eine Folge auf Konvergenz untersuchen und dann den Grenzwert bestimmen.
Gegeben ist die Folge [mm] a_n:=\wurzel{n^2+n}-n. [/mm] |
Hallo :)
ich habe eine Aufgabe, bei der ich eig. schon relativ weit gekommen bin, jetzt aber nicht mehr weiter weiß...
Man soll eine Folge auf Konvergenz untersuchen und dann den Grenzwert bestimmen.
Gegeben ist die Folge [mm] a_n:=\wurzel{n^2+n}-n.
[/mm]
Jetzt habe ich schon jede Menge Umformungen durchgeführt und erhalte letztlich 1/2 als Grenzwert.
Jetzt suche ich allerding ein N aus den natürlichen Zahlen mit n >N, für das die Folge konvergiert.
Also setze ich [mm] |a_n [/mm] - a|, also
[mm] |wurzel(n^2+n) [/mm] - n - 1/2|.
Hier bekomme ich jedoch immer nur ziemlich seltsame Sachen raus oder mein n fällt weg, und das will ich ja eigentlich nicht.
Wäre super wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.
Vielen Dank schonmal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Di 27.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Man soll eine Folge auf Konvergenz untersuchen und dann den
> Grenzwert bestimmen.
> Gegeben ist die Folge [mm]a_n[/mm] := [mm]wurzel(n^2+n)[/mm] - n.
> Hallo :)
> ich habe eine Aufgabe, bei der ich eig. schon relativ weit
> gekommen bin, jetzt aber nicht mehr weiter weiß...
>
> Man soll eine Folge auf Konvergenz untersuchen und dann den
> Grenzwert bestimmen.
> Gegeben ist die Folge [mm]a_n[/mm] := [mm]wurzel(n^2+n)[/mm] - n.
>
> Jetzt habe ich schon jede Menge Umformungen durchgeführt
> und erhalte letztlich 1/2 als Grenzwert.
Das stimmt.
>
> Jetzt suche ich allerding ein N aus den natürlichen Zahlen
> mit n >N, für das die Folge konvergiert.
Das ist völlig unsinnig !! Was soll das N in Bezug auf die Folge leisten ?
> Also setze ich [mm]|a_n[/mm] - a|, also
>
> [mm]|wurzel(n^2+n)[/mm] - n - 1/2|.
>
> Hier bekomme ich jedoch immer nur ziemlich seltsame Sachen
> raus oder mein n fällt weg, und das will ich ja eigentlich
> nicht.
Das kann nicht sein. Zeig Deine Rechnungen !!
FRED
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> Wäre super wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.
>
> Vielen Dank schonmal.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Warum ist das unsinnig?
Schätzt man nicht |an - a| nicht immer ab, um genau so ein N zu bekommen, ab dem |an-a| eine Nullfolge ist ?
Steht doch auch in allen Büchern so.
Beispielsweise die Folge [mm] a_n [/mm] = 1/n.
ich weiß ja das diese gegen 0 konvergiert, also habe ich dann |1/n - 0 | = |1/n| = 1/n < epsilon.
Jetzt wähle ich mein N aus den natürlichen Zahlen, mit N<n sodass:
N>1/epsilon und sage, dass ein n>N>1/epsilon existiert weshalb [mm] |a_n [/mm] - a| < epsilon für alle n>N gilt.
und ein solches N suche ich jetzt halt für die gegebene Funktion.
Habe jetzt rausbekommen 1/2 + n < epsilon, aber das kann wohl kaum sein. Da ist wahrscheinlich irgendwo ein rechenfehler drin...
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Hallo Jonny,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Schätzt man nicht |an - a| nicht immer ab, um genau so ein
> N zu bekommen, ab dem |an-a| eine Nullfolge ist ?
Ob [mm]|a_n-a|[/mm] eine Nullfolge ist, hängt eindeutig nicht von einem festen [mm]N_[/mm] ab.
Dieses feste [mm]N_[/mm] wird genau dann gesucht, wenn ich wissen bzw. berechnen will, ab welchem [mm]n \ \ge \ N \in\IN[/mm] mein Term [mm]|a_n-a|[/mm] kleiner als ein gegebenes [mm]\varepsilon[/mm] ist.
Oder etwas anschaulicher: Ab welchem [mm]n \ \ge \ N[/mm] sind sämtliche Folgenglieder von [mm]a_n[/mm] dichter als [mm]\varepsilon[/mm] an meinem Grenzwert [mm]a_[/mm] .
> Steht doch auch in allen Büchern so.
Das glaube ich nicht ... siehe oben!
> Beispielsweise die Folge [mm]a_n[/mm] = 1/n.
> ich weiß ja das diese gegen 0 konvergiert, also habe ich
> dann |1/n - 0 | = |1/n| = 1/n < epsilon.
>
> Jetzt wähle ich mein N aus den natürlichen Zahlen, mit
> N<n sodass:<br="">> N>1/epsilon und sage, dass ein n>N>1/epsilon existiert
> weshalb [mm]|a_n[/mm] - a| < epsilon für alle n>N gilt.
Siehe oben dazu.
> Habe jetzt rausbekommen 1/2 + n < epsilon, aber das kann
> wohl kaum sein. Da ist wahrscheinlich irgendwo ein
> rechenfehler drin...
Ohne Deine exakte Rechnung können wir das weder beurteilen noch korrigieren.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Di 27.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Warum ist das unsinnig?
> Schätzt man nicht |an - a| nicht immer ab, um genau so ein
> N zu bekommen, ab dem |an-a| eine Nullfolge ist ?
> Steht doch auch in allen Büchern so.
Nun lassen wir mal die Überheblichkeiten !
Das ist völliger Blödsinn:
"Jetzt suche ich allerding ein N aus den natürlichen Zahlen
> mit n >N, für das die Folge konvergiert."
Entweder eine Folge konvergiert oder sie tut es nicht.
Und glaub mir, ich bins der FRED, ich bin im Bilde, was in Büchern steht.
FRED
>
> Beispielsweise die Folge [mm]a_n[/mm] = 1/n.
> ich weiß ja das diese gegen 0 konvergiert, also habe ich
> dann |1/n - 0 | = |1/n| = 1/n < epsilon.
>
> Jetzt wähle ich mein N aus den natürlichen Zahlen, mit
> N<n sodass:
> N>1/epsilon und sage, dass ein n>N>1/epsilon existiert
> weshalb [mm]|a_n[/mm] - a| < epsilon für alle n>N gilt.
>
> und ein solches N suche ich jetzt halt für die gegebene
> Funktion.
> Habe jetzt rausbekommen 1/2 + n < epsilon, aber das kann
> wohl kaum sein. Da ist wahrscheinlich irgendwo ein
> rechenfehler drin...
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