Konvergenz einer Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Di 19.06.2007 | | Autor: | Harris |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich komm bei einer Aufgabe von meinem Übungsblatt nicht weiter...
Ich soll zeigen, dass die Ableitung von
f(x) = [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{cos(i\delta)}{i}x^{i}
[/mm]
das gleiche ist wie
f'(x) = [mm] \bruch{cos(\delta)-x}{1 - 2xcos(\delta) + x^{2}}
[/mm]
wobei [mm] \delta [/mm] aus dem Interval ]0, [mm] 2\pi[
[/mm]
Ich hab schon die Unendliche Reihe vom Cosinus eingesetzt, ein n rausgezogen usw... aber mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich dieses [mm] x^{2k} [/mm] aus der Summe vom Cosinus rausziehe...
Am meißten irritiert mich, dass im Nenner dieser Cosinus mitten in diese Binomische Formel reingepresst wurde...?
Das weiteste, was ich geschafft habe, war:
[mm] \summe_{n=1}^{\infinity} nx^{n-1} \summe_{i=0}^{\infinity} (-1)^{i} \bruch{ \delta^{2i} n^{2i-1}}{2i!}
[/mm]
Ich würde mich super freuen, wenn jemand von euch einen Tipp hätte, denn genau ohne dieses [mm] n^{2i-1} [/mm] würde genau die Ableitung rauskommen, nur ohne diesen Cosinus im Nenner.
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> Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich komm bei einer Aufgabe von meinem Übungsblatt nicht
> weiter...
> Ich soll zeigen, dass die Ableitung von
> f(x) = [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{cos(i\delta)}{i}x^{i}[/mm]
>
> das gleiche ist wie
>
> f'(x) = [mm]\bruch{cos(\delta)-x}{1 - 2xcos(\delta) + x^{2}}[/mm]
>
> wobei [mm]\delta[/mm] aus dem Interval ]0, [mm]2\pi[[/mm]
>
> Ich hab schon die Unendliche Reihe vom Cosinus eingesetzt,
> ein n rausgezogen usw... aber mein Problem ist, dass ich
> nicht weiß, wie ich dieses [mm]x^{2k}[/mm] aus der Summe vom Cosinus
> rausziehe...
Wäre es nicht einfacher, zuerst einmal die Reihe gliedweise nach [mm]x[/mm] abzuleiten: dann verschwindet schon mal die Division durch [mm]i[/mm].
Dann könnte man eventuell die Glieder dieser Reihe als Realteile einer simplen (weil bloss geometrischen!) komplexen Reihe auffassen. Der Realteil der Summe dieser komplexen gemetrischen Reihe müssten dann der gewünschte Ausdruck für [mm]f'(x)[/mm] sein... Etwas lästig ist bei diesem Verfahren, dass der Summationsindex [mm]i[/mm] genannt wird: aber am Umbenennen des Summationsindexes alleine sollte es ja nicht scheitern...
> Am meißten irritiert mich, dass im Nenner dieser Cosinus
> mitten in diese Binomische Formel reingepresst wurde...?
>
> Das weiteste, was ich geschafft habe, war:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infinity} nx^{n-1} \summe_{i=0}^{\infinity} (-1)^{i} \bruch{ \delta^{2i} n^{2i-1}}{2i!}[/mm]
>
> Ich würde mich super freuen, wenn jemand von euch einen
> Tipp hätte, denn genau ohne dieses [mm]n^{2i-1}[/mm] würde genau die
> Ableitung rauskommen, nur ohne diesen Cosinus im Nenner.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Di 19.06.2007 | | Autor: | Harris |
Die einzelnen Glieder hab ich schon abgeleitet und war dann auch angetan, dass das n sich rauskürzen lässt.
aber im prinzip bin ich da auch nicht wahnsinnig weiter gekommen...
Das Ding hat eigentlich nix mit komplexen zahlen zu tun... das einzig blöde war dieser Index i, den ich nur gewählt habe, weil der Standartmäßig eingestellt war 
Außerdem weiß ich nicht, wie ich das Ding jetzt als Realteil einer komplexen Reihe auffassen soll.. macht es das nicht komplizierter?
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> Die einzelnen Glieder hab ich schon abgeleitet und war dann
> auch angetan, dass das n sich rauskürzen lässt.
> aber im prinzip bin ich da auch nicht wahnsinnig weiter
> gekommen...
> Das Ding hat eigentlich nix mit komplexen zahlen zu tun...
> das einzig blöde war dieser Index i, den ich nur gewählt
> habe, weil der Standartmäßig eingestellt war
>
> Außerdem weiß ich nicht, wie ich das Ding jetzt als
> Realteil einer komplexen Reihe auffassen soll.. macht es
> das nicht komplizierter?
Also wenn x und [mm]\delta[/mm] reell sind und das allgemeine Glied der nach x abgeleiten Reihe gleich [mm]\cos(n\delta)x^n[/mm] ist, dann ist dies doch gleich [mm]\Re[(e^{i\delta}\cdot x)^n][/mm] (wobei n der Summationsindex, i die imaginäre Einheit).
Den Übergang zum Realteil, [mm]\Re[/mm] kannst Du aus der Summe herausziehen: dann bleibt eine geometrische Summe, deren Wert Du m.E. leicht hinschreiben kannst. Dann nimmst Du davon den Realteil...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Di 19.06.2007 | | Autor: | Harris |
Vielen Dank für deine Antwort!
Ich hab jetzt aber etwas rumgerechnet und folgendes rausbekommen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} cos(\delta*n) x^{n-1} [/mm] = [mm] x^{-1} [/mm] * [mm] \summe_{n=1}^{\infty} RE[(e^{in\delta} x^n)] [/mm] = [mm] x^{-1} [/mm] * [mm] Re[\summe_{n=1}^{\infty}x^{n}*e^{i\delta}] [/mm] = [mm] x^{-1} [/mm] * [mm] Re[\summe_{n=1}^{\infty} x^{n} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{i^{k}\delta^{k}}{k!}] [/mm] = [mm] x^{-1} [/mm] * [mm] Re[\summe_{n=1}^{\infty}x^n(\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k \bruch{\delta^{2k}}{2k!} [/mm] + i [mm] *\summe_{n=1}^{\infty} \cdots)] [/mm] = [mm] x^{-1} [/mm] * [mm] \summe_{n=1}^{\infty}x^n [/mm] * [mm] cos(\delta) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}cos(\delta) x^{n-1} [/mm]
Is dochn Widerspruch... :( Was mach ich falsch?
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> Vielen Dank für deine Antwort!
> Ich hab jetzt aber etwas rumgerechnet und folgendes
> rausbekommen:
...
> Is dochn Widerspruch... :( Was mach ich falsch?
Du rechnest nicht gerade auf gerader Linie das, was ich vorgeschlagen hatte.
Ich dachte eher an folgende Umformungen:
[mm]\frac{1}{x}\sum_{n=1}^\infty\Re\Big[\big(e^{i\delta}\cdot x\big)^n\Big]=\frac{1}{x}\Re\Big[\sum_{n=1}^\infty(e^{i\delta}\cdot x)^n\Big] = \frac{1}{x}\Re\Big[\frac{1}{1-e^{i\delta}\cdot x}-1\Big][/mm]
Damit wären wir die Summe los und könnten noch den Realteil genauer herauspräparieren
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> Vielen Dank für deine Antwort!
> Ich hab jetzt aber etwas rumgerechnet und folgendes
> rausbekommen:
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \cos(\delta*n) x^{n-1} = x^{-1} * \summe_{n=1}^{\infty} Re[(e^{i n\delta} x^n)] = x^{-1} * Re[\summe_{n=1}^{\infty}x^{n}*e^{i\delta}][/mm]
> Was mach ich falsch?
Das letzte Gleichheitszeichen (oben) ist falsch: Du hast n im Exponenten der Basis e einfach fallenlassen, statt [mm]e^{i\delta}[/mm] hättest Du noch immer [mm]e^{i n\delta}[/mm] schreiben müssen. Ich denke: Du hast noch nicht verstanden, dass man die Reihe, nach dem Herausziehen des Realteil-Operators, Re, einfach als geometrische Reihe [mm]\sum_{n=1}^\infty z^n[/mm] auffassen kann, wobei [mm]z := e^{i \delta}\cdot x[/mm].
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