Konvergenz einer Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Do 10.07.2008 | | Autor: | dupline |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Konvergenzintervall der Potenzreihe (Aufgabe 12)
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(x-2)^n}{n^2+1} [/mm] |
ich bin hier mit dem Quotientenkriterium vorgegangen und habe limes geht gegen 1 herausbekommen.
Dann bekomme ich sozusagen |x-2|*1<1
Wie darf ich den Bruch auflösen damit ich zur Lösung [mm] x\in[1,3] [/mm] komme ??
Und dann hab ich gleich noch eine Frage dazu, und zwar wurde uns gesagt, dass ich in dem Quotientenkriterium die Betragsstriche weglassen kann, so bald ich das x "rausnehm".
Wir streichen gedanklich das x und setzen es erst wieder mit Betragsstrichen an das Ergebnis.
(Ich hoffe das war irgendwie verständlich  )
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Katrin,
> Bestimmen Sie das Konvergenzintervall der Potenzreihe
> (Aufgabe 12)
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{(x-2)^n}{n^2+1}[/mm]
> ich bin hier mit
> dem Quotientenkriterium vorgegangen und habe limes geht
> gegen 1 herausbekommen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann bekomme ich sozusagen |x-2|*1<1
> Wie darf ich den Bruch auflösen damit ich zur Lösung
> [mm]x\in[1,3][/mm] komme ??
Wieso den Bruch? Du musst dir klarmachen, was $|x-2|<1$ bedeutet.
Das bedeutet geometrisch, dass x näher an 2 liegt als 1, mal's dir am Zahlenstrahl auf
Du hast richtig herausbekommen, dass der Konvergenzradius 1 ist und die Potenzreihe für $|x-2|<1$ konvergiert und für $|x-2|>1$ divergiert
Du hast also bereits Konvergenz für [mm] $x\in(1,3)$, [/mm] also im offenen Intervall von 1 bis 3
Über das Verhalten an den Rändern (also für [mm] $|x-2|\red{=}1$) [/mm] gibt das Kriterium keinen Aufschluss.
Diese "kritischen" Randpunkte musst du "manuell" in die Potenzeihe einsetzen und mit den üblichen Mitteln für "normale" Reihen auf Konvergenz prüfen:
[mm] $|x-2|=1\Rightarrow x=1\vee [/mm] x=3$
Setze das ein und prüfe auf Konvergenz, lt. deiner Lösung soll die Potenzreihe auch für die Randpunkte konvergieren, das habe ich aber nicht nachgerechnet, das kannst du machen
>
> Und dann hab ich gleich noch eine Frage dazu, und zwar
> wurde uns gesagt, dass ich in dem Quotientenkriterium die
> Betragsstriche weglassen kann, so bald ich das x
> "rausnehm".
> Wir streichen gedanklich das x und setzen es erst wieder
> mit Betragsstrichen an das Ergebnis.
>
> (Ich hoffe das war irgendwie verständlich )
Hmm, nicht so ganz, hier ist ja das [mm] $\frac{1}{n^2+1}$ [/mm] stets positiv, da kannst du die Betragsstriche weglassen, aber um das $(x-2)$ musst du sie machen
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Do 10.07.2008 | | Autor: | dupline |
Hallo Schachuzipus,
> Wieso den Bruch? Du musst dir klarmachen, was [mm]|x-2|<1[/mm]
> bedeutet.
Oh das war ein Tippfehler, ich meinte den Betrag... aber der ist mir jetzt klar...
> Setze das ein und prüfe auf Konvergenz, lt. deiner Lösung
> soll die Potenzreihe auch für die Randpunkte konvergieren,
> das habe ich aber nicht nachgerechnet, das kannst du machen
>
Ok, so weit isses mir jetzt klar... ich hab jetzt auch die Konvergenz bei x=1 und x=3 untersucht, beide sollten ja konvergieren (laut meiner Dozentin)
aber irgendwie komm ich bei x=3 auf Divergenz....
ich mach das Quotientenkriterium und bekomme da 1 raus, aber für Konvergenz sollte ja <1 rauskommen, somit würde es bei mir divergieren.
> Hmm, nicht so ganz, hier ist ja das [mm]\frac{1}{n^2+1}[/mm] stets
> positiv, da kannst du die Betragsstriche weglassen, aber um
> das [mm](x-2)[/mm] musst du sie machen
Nur zum Verständnis, ich muss eigentlich immer um alles nen Betrag machen (also nicht nur um den Term mit dem x) und nur wenn ich mir sicher bin dass nix negatives rauskommt, darf ich den Betrag weglassen ?!
Danke schon mal :)
LG Katrin
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Hallo nochmal,
> Hallo Schachuzipus,
>
> > Wieso den Bruch? Du musst dir klarmachen, was [mm]|x-2|<1[/mm]
> > bedeutet.
> Oh das war ein Tippfehler, ich meinte den Betrag... aber
> der ist mir jetzt klar...
>
> > Setze das ein und prüfe auf Konvergenz, lt. deiner Lösung
> > soll die Potenzreihe auch für die Randpunkte konvergieren,
> > das habe ich aber nicht nachgerechnet, das kannst du machen
> >
> Ok, so weit isses mir jetzt klar... ich hab jetzt auch die
> Konvergenz bei x=1 und x=3 untersucht, beide sollten ja
> konvergieren (laut meiner Dozentin)
> aber irgendwie komm ich bei x=3 auf Divergenz....
> ich mach das Quotientenkriterium und bekomme da 1 raus,
> aber für Konvergenz sollte ja <1 rauskommen, somit würde es
> bei mir divergieren.
Nein, für den Fall, dass der gem. QK berechnete GW=1 ist, liefert dieses Kriterium keine Aussage!
Da muss ein anderes Kriterium her, aber für x=3 hat die Reihe ja beinahe die Form [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$, [/mm] und diese Reihe ist ja konvergent, also ist es naheliegend, mit dem Majorantenkriterium gegen diese komvergente Majorante abzuschätzen, probier's mal...
>
>
> > Hmm, nicht so ganz, hier ist ja das [mm]\frac{1}{n^2+1}[/mm] stets
> > positiv, da kannst du die Betragsstriche weglassen, aber um
> > das [mm](x-2)[/mm] musst du sie machen
> Nur zum Verständnis, ich muss eigentlich immer um alles
> nen Betrag machen (also nicht nur um den Term mit dem x)
> und nur wenn ich mir sicher bin dass nix negatives
> rauskommt, darf ich den Betrag weglassen ?!
Jo, du berechnest ja [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$, [/mm] hier mit [mm] $a_n=\frac{(x-2)^n}{n^2+1}$
[/mm]
>
> Danke schon mal :)
>
> LG Katrin
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Do 10.07.2008 | | Autor: | dupline |
Huhu 
> Nein, für den Fall, dass der gem. QK berechnete GW=1 ist,
> liefert dieses Kriterium keine Aussage!
>
> Da muss ein anderes Kriterium her, aber für x=3 hat die
> Reihe ja beinahe die Form
> [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/mm], und diese Reihe
> ist ja konvergent, also ist es naheliegend, mit dem
> Majorantenkriterium gegen diese komvergente Majorante
> abzuschätzen, probier's mal...
JAAA wie cool... jetzt hat's endlich geschnackelt ..... klar wenn der GW=1 ist isses ja net glei divergent... (das hab ich in den letzten 10 Aufgaben glaub falsch gemacht) ..... ha super jetzt klappts auch.... und das mit der Majorante is ja doch net so schwer wie ich immer dachte *g* eigentlich ja sogar richtig logisch *lach*
DANKE DANKE , ich glaub du hast mir den Abend gerettet :)
*grins*
Gruß Katrin
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![[huhu]](/images/smileys/huhu.gif "[huhu]"){kind=small}
