Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuche die Reihe auf Konvergenz
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)^{2}}{2^{n}^{2}} [/mm] |
Guten Abend!
Nun irgendwie will es nicht mehr vorwärts.. Mir scheint die Aufgabe nicht sooo schwer und deswegen nervt es mich um so mehr, dass ich so auf dem Schlauch stehe.. Der Tipp ist das Quotientenkriterium zu benutzen.
Dann komme ich auf:
[mm] \bruch{n^{2}*2^{2n-2}}{2^{2n}}
[/mm]
Dies würde ich eingentlich kürzen:
[mm] \bruch{n^{2}}{4}
[/mm]
Was mir aber als Lösung gibt, dass das QK nicht anwendbar ist..
Könnte mir hier jemand helfen? Vielen Dank!!
p.s. Ich habe diese Frage in kein Forum auf einer anderen Internetseite gestellt.
|
|
| |
|
N'Abend,
bin auch Erstsemester, aber ich versuch's mal :D
Also Anwendung des Quotientenkriteriums: Die Betragsstriche kann man weglassen ,da wir nur mit positiven Termen rechnen.
[mm] \bruch{(n+1)!^{2}}{2^{(n+1)}^{2}} [/mm] / [mm] \bruch{n!^{2}}{2^{n}^{2}} [/mm]
[mm] \bruch{(n+1)!^{2}}{2^{(n+1)}^{2}} [/mm] * [mm] \bruch{2^{n}^{2}}{n!^{2}
} [/mm]
[mm] \bruch{(n+1)!^{2}*2^{n}^{2}}{2^{(n+1)}^{2}*n!^{2}}
[/mm]
Jetzt kürzen:
[mm] \bruch{(n+1)^{2}*2^{2n}}{2^{(2n+2)}}
[/mm]
[mm] \bruch{(n+1)^{2}*2^{2n}}{2^{(2n+2)}}
[/mm]
[mm] \bruch{(n+1)^{2}}{2^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{(n+1)^{2}}{4} [/mm] (der limes daraus ist sicher grösser als 1!)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{(n+1)^{2}}{4}) [/mm] > 1
Und da n gegen unendlich strebt, ist der Grenzwert grösser als 1 und damit divergiert diese Reihe. Das ist auch glaubhaft, da die Fakultät stärker anwächst als die Potenz.
Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet! Dann hätten wir beide Recht.
Ciao
Gorky PArk
|
|
|
| |
|
Ja leuchtet mir alles ein, dachte ja auch, dass man das Kriterium nicht anwenden kann... Aber wenn es schon der Typ ist und vorallem ist das QK ja nur hinreichend nicht zwingend..
Also mit welchem Kriterium sollte ich jetzt Divergenz beweisen?
Vielen Dank für die Mühe
p.s. bei dir läufts gut im ersten Semester?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 08.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Hallo
steht da im Nenner [mm] 2^{n^{2}} [/mm] oder [mm] 2^{2n}?
[/mm]
Im ersten Fall wäre die Reihe nämlich nach QK konvergent.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Guten Morgen!
Es steht ersteres, also [mm] 2^{{n}^{2}}. [/mm] Aber ist das schlussendlich nicht dasselbe? (Potenzregeln?)
Vielen Dank für die Hilfe.
|
|
|
| |
|
Ok ich glaube jetzt habe ich es verstanden.. also:
die wichtigsten Schritte sind:
[mm] 2^{{(n+1)}^{2}}=2^{4n+1}
[/mm]
und schlussendlich komme ich auf
[mm] \bruch{2^{n+1}}{2^{2n}}
[/mm]
und das konvergiert..
Bin ich damit auf dem richtigen Weg?
Vielen herzlichen Dank..
|
|
|
| |
|
ok gekürzt sogar:
[mm] \bruch{2}{2^{n}} [/mm]
was nun auch für mich klar gegen null konvergiert..
Vielen Dank für die Hilfe!!!
Schönen Sonntag noch
mfg Ersti
|
|
|
| |
|
> Ok ich glaube jetzt habe ich es verstanden.. also:
> die wichtigsten Schritte sind:
> [mm]2^{{(n+1)}^{2}}=2^{4n+1}[/mm]
Hallo
das stimmt aber nicht:
[mm] 2^{{(n+1)}^{2}}=2^{(n^2+2n+1)}
[/mm]
Möglicherweise liegt hier der Schlüssel der Verwirrung:
Es ist ein Unterscheid, ob man über [mm] 2^{n^2} [/mm] redet oder über [mm] 2^{2n}.
[/mm]
Es ist [mm] 2^{n^2}=2^{n*n}.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
ok nun bin ich wirklich total verwirrt... *ups*
Also ist meine Schlussfolgerung falsch? ist denn:
[mm] 2^{{(n+1)}^{2}}=2^{2n+2}?
[/mm]
Dann komme ich aber wieder zur Aussage, dass das QK nicht anwendbar ist, nicht? Wäre sehr froh um Hilfe..
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal
also, es ist [mm] \left(2^{n+1}\right)^2 [/mm] = [mm] 2^{2(n+1)}.= 2^{2n+2} \not= 2^{n^2+2n+1}=2^{(n+1)^2}
[/mm]
Also je nachdem, was in dem Nenner in der Summe steht, ist die Reihe divergent oder konvergent.
Den Fall, wo im Nenner [mm] 2^{2n} [/mm] steht, hast du ja mit QK richtig behandelt,
Der limes für n [mm] \to \infty [/mm] von [mm] \left|\bruch{a_{k+1}}{a_k}\right| [/mm] ist ja [mm] \infty [/mm] . Damit ist die Reihe divergent
Im anderen Fall geht das gegen 0 und die Reihe ist konvergent.
Das QK besagt , dass - wenn der Grenzwert von [mm] \left|\bruch{a_{k+1}}{a_k}\right| [/mm] gegen eine Zahl 0 < k < 1 strebt - die Reihe (absolut) konvergent ist, und divergent, wenn der limes von [mm] \left|\bruch{a_{k+1}}{a_k}\right| [/mm] gegen k > 1 konvergiert.
Im Falle, wo der limes von [mm] \left|\bruch{a_{k+1}}{a_k}\right| [/mm] gegen 1 geht, hilft das QK nicht, und man muss einen anderen Weg finden.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
