Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Fr 12.01.2007 | | Autor: | wieZzZel |
| Aufgabe | Sei [mm] (d_k) [/mm] eine Folge nichtnegativer Zahlen reeler Zahlen mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} d_k=\infty
[/mm]
Was kann man über die Konvergenz der folgenden Reihen gefolgert werden?
a) [mm] \summe_{n\ge1} \br{d_n}{1+d_n}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n\ge1} \br{d_n}{1+n*d_n}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n\ge1} \br{d_n}{1+n^2*d_n}
[/mm]
d) [mm] \summe_{n\ge1} \br{d_n}{1+d_n^2} [/mm] |
Hallo zusammen.
Also ich würde bei dieser Aufgabe sagen, dass a-d konvergieren, da stets der Nenner größer als der Zähler wird --> Nullfolge --> Reihe konvergiert.
Und was meint ihr zu meiner Überlegung???
TSchüß und vielen Dank für eure Hilfe.
Schönes Wochenende wünscht Röby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Fr 12.01.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo Röby
Wenn die Folge eine Nullfolge ist, konvergiert die zugehörige Reihe noch lange nicht. Als Beispieil sollte man immer die harmonische Reihe [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\frac [/mm] 1n$ vor Augen haben.
Rein gefühlsmässig:
a) und d) divergieren
b) könnte konvergieren evtl. auch divergieren
c) konvergiert
mfG Moudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Fr 12.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du weisst doch nix über die dk ausser der Divergenz.
Z.Bsp könnte [mm] dk=k^{17} [/mm] oder [mm] dk=e^k [/mm] oder dk=k oder [mm] dk=k^k [/mm] usw sein.
zu a) konv die Summe [mm] \bruch{n}{n+1}
[/mm]
zub) entspr [mm] \bruch{k^17}{1+k^18}
[/mm]
usw. Du musst nicht vermuten, sondern beweisen. und dabei können die dk kleiner oder grösser 1 sein!
Wenn die [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge bilden, muss die Summe NICHT KONVERGIEREN! Beisp. harmonische Reihe!
Gruss leduart
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Hallo zusammen.
Hier komme ich einfach nicht weiter.
Wie soll ich das beweisen???
Würde sagen, das hängt voll und ganz von [mm] (d_k) [/mm] ab, soll ich eine Fallunterscheidung machen???
Danke für eure Hilfe.
Tschüß sagt Röby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 So 14.01.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo röby
z.B. zu i)
Wenn [mm] $d_n\leq [/mm] 1$, dann ist [mm] $\frac{d_n}{1+d_n}\geq\frac{d_n}{2}$, [/mm] ist hingegen [mm] $d_n \geq [/mm] 1$, dann ist [mm] $\frac{d_n}{1+d_n}\geq [/mm] 1/2$.
Entweder ist für unendlich viele n [mm] $\frac{d_n}{1+d_n}\geq [/mm] 1/2$, dann divergiert die Reihe,
oder nur für endlich viel n ist [mm] $\frac{d_n}{1+d_n}\geq [/mm] 1/2$, dann ist aber für fast alle n [mm] $\frac{d_n}{1+d_n}\geq\frac{d_n}{2}$ [/mm] und die Reihe divergiert ebenfalls, da die Reihe [mm] $\sum d_n$ [/mm] divergiert.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 16.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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