Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Fr 26.01.2007 | | Autor: | Mankiw |
Hi.
ich hab folgende Aufgabe zu lösen:
Für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert die folgende Reihe: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{n}}{1+nx}
[/mm]
Zuerst muss ich doch schauen, ob das notwendige Kriterium erfüllt ist, oder? Also muss ich den [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] von [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{n}}{1+nx} [/mm] = 0 setzen, oder? Aber wie mach ich das schon mal?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Fr 26.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mankiw!
Das notwendige Kriterium für Reihen bezieht sich lediglich auf die aufzusummierenden Terme (nicht die komplette Reihe).
Es muss also gelten [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^n}{1+n*x} [/mm] \ = \ 0$ .
Das benötigst Du hier aber gar nicht. Es "reicht" völlig aus, wenn Du hier den ![[]](/images/popup.gif) Konvergenzradius $R_$ mit folgender Formel für Potenzreihen berechnest:
$R \ = \ [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\bruch{\bruch{1}{1+n*x}}{\bruch{1}{1+(n+1)*x}}\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\bruch{1+(n+1)*x}{1+n*x}\right| [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Fr 26.01.2007 | | Autor: | Mankiw |
kann ich nicht irgendwas mit dem qoutientenkriterium machen?
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Hallo,
das von Loddar beschriebene Verfahren ist das Quotientenkriterium. Dabei wird aber nur der zu summierende Term betrachtet. Du kannst so leicht den Konvergenzradius deiner Reihe berechnen, nämlich durch mit der Formel [mm] R=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}}.
[/mm]
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Fr 26.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
Jetzt hast Du aber von "richtig" auf "falsch" "korrigiert"  .
Für den Konvergenzradius gilt ja: $R \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Thorsten,
immer diese ollen Brüche. Danke für den Hinweis, habs korrigiert.
Viele Grüße
Daniel
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