Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Mi 09.04.2008 | | Autor: | RedHead |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^{a} [/mm] * [mm] x^{n} [/mm] (a [mm] \in \IN [/mm] ) für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert die Reihe? |
mein überlegung ist:
Anwenden des Quotientenkriterium:
| [mm] \bruch {(n+1)^{a} * x^{n+1}}{ n * x^{n} } [/mm] | [mm] \le [/mm] q
= | [mm] \bruch {(n+1)^{a}}{ n } [/mm] * x|
= | (1 + [mm] \bruch{1}{n} )^{a} [/mm] * x|
so und jetzt weiß ich nicht mehr so genau weiter also ich könnte noch
( 1 + [mm] \bruch{1}{n} )^{a} \le [/mm] ( 1 + [mm] \bruch{1}{n} )^{n}
[/mm]
abschätzen und könnte dann sagen | e* x | [mm] \le [/mm] q < 1
aber ich bin mir ersten nicht sicher opb ich die abschätzung so machen kann und zweitens weis ich noch nicht so genau was mir das dann bringt..
2.te Variante wäre das nicht abzuschätzen sonder wenn man
n [mm] \to \infty [/mm] gehen lässt wäre
( 1 + [mm] \bruch{1}{n} )^{a} \approx [/mm] 1
und damit 1 * x [mm] \le [/mm] q < 1
beides ist mir nicht so ganz geheuer...
Ich wäre über ansätze und verbesserungen sehr erfreut.
MfG RedHead
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} n^{a}[/mm] * [mm]x^{n}[/mm] (a [mm]\in \IN[/mm] ) für
> welche x [mm]\in \IR[/mm] konvergiert die Reihe?
> mein überlegung ist:
> Anwenden des Quotientenkriterium:
>
> | [mm]\bruch {(n+1)^{a} * x^{n+1}}{ n * x^{n} }[/mm] | [mm]\le[/mm] q
>
> = | [mm]\bruch {(n+1)^{a}}{ n }[/mm] * x|
>
> = | (1 + [mm]\bruch{1}{n} )^{a}[/mm] * x|
>
> so und jetzt weiß ich nicht mehr so genau weiter also ich
> könnte noch
>
> ( 1 + [mm]\bruch{1}{n} )^{a} \le[/mm] ( 1 + [mm]\bruch{1}{n} )^{n}[/mm]
>
> abschätzen und könnte dann sagen | e* x | [mm]\le[/mm] q < 1
> aber ich bin mir ersten nicht sicher opb ich die
> abschätzung so machen kann
kannst Du (für genügend große $n$), aber die ist schon sehr grob!
Begründen kannst Du es z.B. so, indem Du begründest:
[mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n-a} \ge \left(1+\frac{1}{n}\right) \ge [/mm] 1$ für alle $n [mm] \ge [/mm] a+1$.
Daraus folgt Deine Abschätzung.
> und zweitens weis ich noch nicht
> so genau was mir das dann bringt..
Das würde Dir sagen, dass die Reihe jedenfalls konvergiert, wenn $|x| [mm] \le \left|\frac{q}{e}\right|$ [/mm] mit einem $0 < q < 1$. Du erhieltest hier also, dass die Reihe jedenfalls konvergiert, wenn
$|x| < [mm] \frac{1}{e}$ [/mm] gilt.
> 2.te Variante wäre das nicht abzuschätzen sonder wenn man
>
> n [mm]\to \infty[/mm] gehen lässt wäre
> ( 1 + [mm]\bruch{1}{n} )^{a} \approx[/mm] 1
>
> und damit 1 * x [mm]\le[/mm] q < 1
[mm] $\blue{|}1*x\blue{|} \le [/mm] q < 1$
Das ist wesentlich besser, denn hier hättest Du die Konvergenz der Reihe für alle $x$ mit $|x| < 1$. Wobei mir das [mm] $\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{a} \approx [/mm] 1$ für alle genügend große $n$ nicht gefällt, weil ich mir nicht sicher bin, ob Dir klar ist, wieso man das so benutzen darf.
Es gibt aber eine einfach äquivalente Formulierung des Quotientenkriteriums mit [mm] $\limsup$, [/mm] schau dazu mal hier:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium
oder hier
http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
(Satz 6.19)
Ich kann aber hier auch einfach direkt mit Cauchy-Hadamard arbeiten (Satz 16.2 und Definition 16.3), was nichts anderes bedeutet, wie das Wurzelkriterium auf die obige Reihe anzuwenden, was ich mal tue (Satz 6.17):
[mm] $\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|n^a *x^n|}=|x|\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{n^a}=|x| \lim_{n \to \infty}(\sqrt[n]{n})^a=|x|*(\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n})^a=|x|*1=|x|$ [/mm]
(hier muss man natürlich wissen, dass [mm] $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n}=1$, [/mm] Stetigkeitsargument von $x [mm] \mapsto x^a$ [/mm] kann man mit einbringen sowie, wenn [mm] $\lim_{...}$ [/mm] existiert, dass dann [mm] $\lim_{...}=\limsup_{...}$ [/mm] gilt)
und daher
[mm] $\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|n^a *x^n|} [/mm] < 1$ genau dann, wenn $|x| < 1$ sowie
[mm] $\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|n^a *x^n|} [/mm] > 1$ genau dann, wenn $|x| > 1$
Die obige Reihe konvergiert also für alle $x$ mit $|x|<1$ und divergiert für alle $x$ mit $|x| > 1$.
Für [mm] $x=\pm [/mm] 1$ muss man die Reihe separat untersuchen:
Im Falle $x=1$ ist die Reihe offensichtlich divergent, da dann [mm] $n^a*x^n=n^a$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] nicht gegen $0$ geht (Wiki: Trivialkriterium nachschlagen).
Im Falle $x=-1$:
Überlege Dir, dass [mm] $|n^a*(-1)^n|$ [/mm] nicht gegen $0$ streben kann. Welche Konsequenz hat das für [mm] $n^a*(-1)^n$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$? [/mm] Also auch hier:
Divergenz nach dem Trivialkriterium.
Insgesamt:
Die obige Reihe konvergiert genau für alle $x [mm] \in [/mm] (-1,1)$.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Mi 09.04.2008 | | Autor: | RedHead |
Der 2te Link funktioniert leider nicht...und auf das Skript kann ich nicht direkt zugreifen....aber nicht so schlimm
[mm] (1+\bruch{1}{n})^{a} \approx [/mm] 1
Also ich versteh das so das es ja um eine unendliche Reihe geht nimmt n alle werte zwischen 1 und [mm] \infty [/mm] an das kann man ja approximieren da [mm] \bruch{1}{n} [/mm] demnach immer kleiner wird und daher in der Summe also für beliebig grosse n nicht mehr ins Gewicht fällt daher kann man sagen das
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] mit n [mm] \to \infty [/mm] gegen 0 strebt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Der 2te Link funktioniert leider nicht...und auf das Skript
> kann ich nicht direkt zugreifen....aber nicht so schlimm
wenn der Adobe-Reader auf Deinem PC installiert ist, sollte der Link eigentlich funktionieren.
> [mm](1+\bruch{1}{n})^{a} \approx[/mm] 1
>
> Also ich versteh das so das es ja um eine unendliche Reihe
> geht nimmt n alle werte zwischen 1 und [mm]\infty[/mm] an das kann
> man ja approximieren da [mm]\bruch{1}{n}[/mm] demnach immer kleiner
> wird und daher in der Summe also für beliebig grosse n
> nicht mehr ins Gewicht fällt daher kann man sagen das
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] mit n [mm]\to \infty[/mm] gegen 0 strebt.
Naja, das Symbol [mm] $\approx$ [/mm] kann man mit einer Definition eines Grenzwertes verbinden. Wie gesagt, es ist nicht falsch, wie Du es anwendest und auch Deine Begründung hier ist gut, aber strenggenommen müsstest Du hier (wenn Du noch keine Argumente mit Stetigkeit etc. kennst) genauer argumentieren. Denn was Du eigentlich meinst, ist, dass
[mm] $\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^a=1$
[/mm]
Was Du leicht sehen wirst, ist, dass [mm] $\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^a\right)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge in [mm] $[1,\infty)$ [/mm] ist, die monoton fallend ist. Und dass sie gegen $1$ konvergiert, kannst Du dann so machen, indem Du dann einfach begründest, dass für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt:
[mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^a-1 [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ mit einem (hinreichend großen) [mm] $N=N_\varepsilon \in \IN$.
[/mm]
Edit: Rest gelöscht, ich hatte die Bernoulli-Ungleichung falsch da stehen^^
Ich hoffe, es war nicht zu verwirrend 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:34 Mi 09.04.2008 | | Autor: | RedHead |
Okay das kann ich nachvollziehen 
werd mich damit mal noch ein bisschen auseinander setzten aber ich glaube ich habs verstanden.
Vielen Dank und noch einen schönen Abend.
Mfg RedHead
Wenn ich das Skript speicher kann ich es mir auch anschauen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay das kann ich nachvollziehen
> werd mich damit mal noch ein bisschen auseinander setzten
> aber ich glaube ich habs verstanden.
ähm naja, dann hast Du meinen Fehler genauso mitgedacht. Die Bernoulli-Ungleichung lautet ja für $x [mm] \ge [/mm] -1$:
[mm] $(1+x)^n \ge [/mm] 1+n*x$ für alle $n [mm] \in \IN_0$, [/mm] ich hatte sie angwendet, als wenn da [mm] $\le$ [/mm] stünde
Aber man kann trotzdem zu gegebenem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ erreichen, dass
[mm] $\left|\left(1+\frac{1}{n}\right)^a-1\right| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ mit einem [mm] $N=N_\varepsilon$.
[/mm]
Wenn man keine Stetigkeitsargumente benutzen darf, muss man halt hier einfach mal
[mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^a$ [/mm] mittels des allg. binomischen Lehrsatzes entwickeln, dann sieht man das (beachte, dass dann da für jedes $n$ immer $a+1$ Summanden stehenbleiben (wenn man den bin. Lehrsatz auf [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^a$ [/mm] anwendest); und dann kann man begründen, dass jeder der verbleibende $a$ Summanden bei [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^a-1$ [/mm] das Glied einer Nullfolge ist).
Also genauer:
[mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^a-1=\sum_{k=1}^a [/mm] {a [mm] \choose [/mm] k} [mm] \left(\frac{1}{n}\right)^k=\sum_{k=1}^a [/mm] {a [mm] \choose [/mm] k} [mm] \frac{1}{n^k}$ ($\leftarrow$ in dieser Summe stehen nur noch $a$ Summanden!)
Und für jedes $k \in \{1,...,a\}$ gilt:
${a \choose k} \frac{1}{n^k} \to 0$ bei $n \to \infty$
da
${a \choose k}$ eine von $n$ unabhängige Konstante ist.
Gruß,
Marcel
[/mm]
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