Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Do 17.07.2008 | | Autor: | dupline |
| Aufgabe | Bestimmen sie ob folgende Reihen konvergieren. (Mehr Reihen Aufgabe 3)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1+4^n}{1+3^n} [/mm] |
Ich weiß dass diese Reihe divergieren soll (laut Lösung) und hätte das Minorantenkriterium versucht, allerdings komm ich auf keine wirkliche Lösung... kann mir bitte jemand helfen.
Danke schon mal
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Hallo Katrin,
Na, deine Reihe hat doch schon ne Menge Ähnlichkeit mit der geometrischen Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4^n}{3^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4}{3}\right)^n$
[/mm]
Wann konvergiert denn eine geometrische Reihe [mm] $\sum q^n$ [/mm] ?
Versuche also, deine Reihe gegen diese divergente Minorante [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4}{3}\right)^n$ [/mm] bzw. eine Variante derselben abzuschätzen.
Alternativ und recht einfach, da keine Abschätzungen nötig sind, kannst du das Wurzelkriterium mal ansetzen.
Klammere dazu im Verlaufe der Rechnung im Zähler [mm] 4^n [/mm] und im Nenner [mm] 3^n [/mm] aus ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 Do 17.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Möglichkeit:
Die Folge der Reihenglieder ist keine Nullfolge (sie ist sogar unbeschränkt),
also divergiert die Reihe.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Do 17.07.2008 | | Autor: | dupline |
Hi Schachuzipus,
ok
[mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4^n}{3^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4}{3}\right)^n[/mm]
das ist mir klar, und ich weiß, dass die geometrische Reihe konvergiert, wenn das |q|<1 ist und bei (4/3) ist es größer 1 also muss es divergieren.
Soweit bin ich sogar schon gekommen... aber ich hab noch rießige Probleme mit dem Abschätzen...
ich hab also folgendes:
[mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1+4^n}{1+3^n}>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4^n}{1+3^n} [/mm] aber ich muss doch irgendwie meinen Nenner größer machen damit der Ausdruck kleiner wird, wie komm ich dann letztendlich auf eine geometrische Reihe mit dem q<1 ??
Sorry ich steh grad voll aufm Schlauch....
(ich müsste ja eigentlich nur die 1 im Nenner weg bekommen....irgendwie...)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Do 17.07.2008 | | Autor: | dupline |
AHhhhhhhhhhh.... ja klar, jetzt kann ich ja 1/2 vor den Bruch ziehen und hab dann mein[mm] (\bruch{4}{3})^n [/mm] und das divergiert.....
cool danke mal wieder 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Do 17.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo dupline!
Ist hier das notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz erfüllt, und es gilt:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+4^n}{1+3^n} [/mm] \ = \ 0$$ ?
Gruß
Loddar
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