Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
| Aufgabe | | Untersuchen sie die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}n^{2}q^{(n²)} [/mm] mit q [mm] \in \IR [/mm] auf Konvergenz. Aufgabentext wurde bearbeitet, da Fehler drin waren |
mir fehlt jeglicher Ansatz zu dieser Aufgabe.
Ich habe es mit dem Wurzelkriterium, dem Quotientenkriterium, dem Grenzwertvergleich probiert, aber ich kam nie weiter.....
Kann mir einer helfen?
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> Untersuchen sie die Reihe [mm]\summe_{i=1}^{n}n^{2}q^{(n²)}[/mm]
> mit q [mm]\in \IR[/mm] auf Konvergenz
> mir fehlt jeglicher Ansatz zu dieser Aufgabe.
> Ich habe es mit dem Wurzelkriterium, dem
> Quotientenkriterium, dem Grenzwertvergleich probiert, aber
> ich kam nie weiter.....
>
> Kann mir einer helfen?
Hallo Susann,
ich sehe da eine Summe mit endlich vielen
Summanden. So wie du die Reihe notiert hast
(mit dem Summationsindex i , der in den
Summanden gar nicht auftritt), sind alle n
Summanden gleich [mm] n^{2}q^{(n²)},
[/mm]
also ist die Summe gleich
[mm] n^{3}q^{(n²)}
[/mm]
Da gibt es keinerlei Konvergenzproblem !
Sehr wahrscheinlich war aber etwas anderes gemeint.
Prüfe also die Aufgabenstellung zuerst genau nach !
LG al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Der Summationsindex muß selbstverständlich von 1 bis unendlich laufen und über n gehen.
Ich verbessere die aufgabe daher zu
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}n²q^{(n²)}
[/mm]
Susann
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Hallo Susann,
> Der Summationsindex muß selbstverständlich von 1 bis
> unendlich laufen und über n gehen.
> Ich verbessere die aufgabe daher zu
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}n²q^{(n²)}[/mm]
Wieso klappt das Wurzelkriterium nicht? Berechne doch mal den [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|n^2\cdot{}q^{n^2}\right|}=\limsup\limits_{n\to\infty}\left(\left|n^2\cdot{}q^{n^2}\right|\right)^{\frac{1}{n}}$
[/mm]
Das sollte dir doch eine Bedingung für q geben ...
>
> Susann
>
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Kannst du mir noch nen tip für den lim sup geben, wie ich den berechne?
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Hallo nochmal,
was ist denn hier [mm] $\left|n^2\cdot{}q^{n^2}\right|^{\frac{1}{n}}=n^{\frac{2}{n}}\cdot{}|q|^n$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm] los (abh. von q)?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Aquilera |
Kann ich hier argumentieren, daß [mm] \wurzel[n]{n²}\to [/mm] 1 für n [mm] \to \infty [/mm] und weil [mm] q^{n} [/mm] die geometrische reihe ist, die ganze reihe für q<1 konvergiert, und für q>=1 divergiert ?, weil kovergent * konvergent = konvergent und konvergent *divergent= divergent???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Kann ich hier argumentieren, daß [mm]\wurzel[n]{n²}\to[/mm] 1 für n
> [mm]\to \infty[/mm] und weil [mm]q^{n}[/mm] die geometrische reihe ist, die
> ganze reihe für q<1 konvergiert, und für q>=1 divergiert ?,
> weil kovergent * konvergent = konvergent und konvergent
> *divergent= divergent???
sagen wir mal: Der Grundgedanke könnte okay sein, wobei ich mir da nicht ganz sicher bin, ob Du das wirklich richtig meinst.
Etwas genauer mal der Gedankengang meinerseits:
Im Falle $|q| < 1$ strebt [mm] $|q|^n \to [/mm] 0$ und [mm] $\underbrace{n^{2/n}}_{> 1} \to 1\,.$ [/mm] Zu einem $0 < t < 1$ und einem $1 < R < [mm] \infty$ [/mm] finden wir also ein $N$, so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N+1$ dann sowohl $1 [mm] \le n^{2/n} \le [/mm] R$ also auch $0 [mm] \le |q|^n \le [/mm] t$ ist.
Konsequenz:
[mm] $$\left|\sum_{n=N+1}^\infty n^2 |q|^{n^2}\right| \le \sum_{n=N+1}^\infty (R*t)^n\,.$$
[/mm]
Durch genügend kleine Wahl von [mm] $\black{t}$ [/mm] erhalten wir eine Konvergente Majorante für das Restglied, und damit erkennen wir (sogar) die (absolute) Konvergenz Deiner Reihe...
(Den Fall $|q|>1$ erspare ich mir nun...)
Aber ich glaube fast nicht, dass Du das so meintest... Schreibe das vielleicht mal alles auch formal auf, was Du meinst. Dann siehst Du auch selber, ob Deine Argumentation greift oder wo sie schiefgeht...
Aber denken wir den Ansatz von Schachuzipus doch mal zu Ende:
Da stand, dass:
[mm] $$\limsup_{n \to \infty} n^{\frac{2}{n}}|q|^n$$
[/mm]
noch zu berechnen war. Richtig?
Im Falle $|q| < 1$ gilt:
[mm] $$\limsup_{n \to \infty} n^{\frac{2}{n}}|q|^n=(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n})^2*\lim_{n \to \infty}|q|^n=1^2*0=0 [/mm] < [mm] 1\,.$$
[/mm]
Hier konvergiert Deine Reihe also.
Soweit einverstanden?
Im Falle $|q| > 1$ gilt sicherlich wegen [mm] $n^{2/n} \ge [/mm] 1$, wenn man $|q|=1+r$ mit einem $r > 0$ schreibt:
[mm] $$n^{2/n} |q|^n \ge |q|^n=(1+r)^n \underset{Bernoulli}{\ge} [/mm] 1+n*r [mm] \underset{n \to \infty}{\longrightarrow}\infty\,$$
[/mm]
also
[mm] $$\limsup_{n \to \infty} n^{\frac{2}{n}}|q|^n=\infty [/mm] > [mm] 1\,.$$
[/mm]
In diesem Fall divergiert die Reihe also.
Frage: Was ist im Falle $|q|=1$ los? (Beachte, dass das Wurzelkriterium hier dann keine Aussage liefert!)
Für reelles $q$ kann dann nur [mm] $q=\pm [/mm] 1$ sein, dann erkennt man auch direkt etwas.
Für komplexes $q$ denke man notfalls an das ![[]](/images/popup.gif) Trivialkriterium. (Also: Ist im Falle $|q|=1$ die Folge [mm] $(n^2q^{(n^2)})_n$ [/mm] eine Nullfolge?)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Kannst du mir noch nen tip für den lim sup geben, wie ich
> den berechne?
als Tipp: Beachte, dass
[mm] $$\sqrt[n]{n} \to 1\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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