Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:46 Do 19.02.2009 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe | | Seien [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] und [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_n [/mm] Reihen mit [mm] a_i>0 [/mm] und [mm] b_i>0 [/mm] für alle i [mm] \in \IN. [/mm] Die Folge [mm] (\bruch{a_n}{b_n}) [/mm] sei konvergent. Beweisen Sie: Ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_n [/mm] konvergent, so ist auch [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] konvergent. |
Hallo,
meine Idee dazu war, dass ja die Folge der Partialsummen von [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_n [/mm] einen Grenzwert B haben muss, da sie konvergiert, also gilt doch: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(b_n)=B. [/mm] Die Folge [mm] (\bruch{a_n}{b_n}) [/mm] hat ebenfalls einen Grenzwert, dieser sei G. Kann man dann sagen: Wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{a_n}{b_n})=G [/mm] und die Folge der Partialsummen von [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_n [/mm] sei [mm] (b_n), [/mm] dann gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{a_n}{b_n})=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n}{\limes_{n\rightarrow\infty}b_n}=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n}{B}=G \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=B*G, [/mm] also ist damit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] ebenso konvergent? Wahrscheinlich ist das nicht korrekt argumentiert, aber wie muss ich das genau machen? Hat jemand einen Tipp?
Vielen Dank für die Hilfe.
Gruß, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 Do 19.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] und
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}b_n[/mm] Reihen mit [mm]a_i>0[/mm] und [mm]b_i>0[/mm] für
> alle i [mm]\in \IN.[/mm] Die Folge [mm](\bruch{a_n}{b_n})[/mm] sei
> konvergent. Beweisen Sie: Ist [mm]\summe_{n=0}^{\infty}b_n[/mm]
> konvergent, so ist auch [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n[/mm]
> konvergent.
> Hallo,
>
> meine Idee dazu war, dass ja die Folge der Partialsummen
> von [mm]\summe_{n=0}^{\infty}b_n[/mm] einen Grenzwert B haben muss,
> da sie konvergiert, also gilt doch:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(b_n)=B.[/mm] Die Folge
> [mm](\bruch{a_n}{b_n})[/mm] hat ebenfalls einen Grenzwert, dieser
> sei G. Kann man dann sagen: Wenn
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{a_n}{b_n})=G[/mm] und die
> Folge der Partialsummen von [mm]\summe_{n=0}^{\infty}b_n[/mm] sei
> [mm](b_n),[/mm] dann gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{a_n}{b_n})=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n}{\limes_{n\rightarrow\infty}b_n}=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n}{B}=G \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=B*G,[/mm]
> also ist damit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] ebenso
> konvergent? Wahrscheinlich ist das nicht korrekt
> argumentiert, aber wie muss ich das genau machen? Hat
> jemand einen Tipp?
Pardon, aber das ist großer Murks. Du verwechselst [mm] (b_n) [/mm] mit der folge der Partialsummen von $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_n [/mm] $.
Sei c der Grenzwert von $ [mm] (\bruch{a_n}{b_n}) [/mm] $. Dann ex. ein N [mm] \in \In [/mm] mit:
[mm] \bruch{a_n}{b_n} \le [/mm] c+1 für n > N.
Somit ist
(*) [mm] a_n \le (c+1)b_n [/mm] für n> N
Mit $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_n [/mm] $ ist auch $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(c+1)b_n [/mm] $ konvergent. Aus (*) und dem Majorantenkriterium folgt nun, dass $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] $ konvergiert.
FRED
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> Vielen Dank für die Hilfe.
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> Gruß, Stefan.
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