www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Folgen und Reihen > Konvergenz einer Reihe
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz einer Reihe
Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenz einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Fr 15.10.2010
Autor: pppppp

Aufgabe
untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz:

[mm]\summe_{i=1}^{unendlich} (\bruch{1}{i(i+1)}-\bruch{4}{i}) [/mm]



Mein Ansatz:

Majorantenkriterium: Eine Reihe [mm] \summe_{i=1}^{unendlich} a_{i}[/mm] ist absolut konvergent, wenn es eine konvergente andere Reihe  [mm] \summe_{i=1}^{unendlich} b_{i}[/mm]  sowie ein [mm] i_{0} [/mm] gibt, für welches gilt: [mm] |a_{i}| [/mm] kleiner oder gleich [mm] b_{i} [/mm] für alle [mm] i>i_{0}-1 [/mm]

Also habe ich eine Summe gesucht, die für jedes i größer ist:

[mm]\summe_{i=1}^{unendlich} (\bruch{1}{i}) [/mm] > [mm]\summe_{i=1}^{unendlich} (\bruch{1}{i(i+1)}-\bruch{4}{i}) [/mm]

und versucht die Konvergenz nachzuweisen. Dafür habe ich das Quotientenkriterium verwendet:

q =  [mm]\bruch{|\bruch{1}{i+1}|}{|\bruch{1}{i}|} = \bruch{i}{i+1}[/mm] < 1   weil (i+1) größer ist als i

Nach dem Quotientenkriterium ist eine Reihe für q < 1 absolut konvergent, somit ist [mm]\summe_{i=1}^{unendlich} (\bruch{1}{i}) [/mm] eine konvergente Majorante und beide Reihen konvergent.

Aufgabe gelöst, Juchuh, [klatsch] ... von wegen [heul] in der Lösung steht, dass die Reihe divergiert!

Findet jemand evt. den Fehler?
Ich wäre superglücklich darüber!


Grüße Philipp



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Konvergenzkriterien
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 Fr 15.10.2010
Autor: Al-Chwarizmi

Guten Abend Philipp,


> untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz:
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{unendlich} (\bruch{1}{i(i+1)}-\bruch{4}{i}) [/mm]
>  
> Mein Ansatz:
>  
> Majorantenkriterium: Eine Summe [mm]a_{i}[/mm] ist absolut
> konvergent, wenn eine konvergente andere Summe [mm]b_{i}[/mm] gibt,        [haee]

warum lässt du die Summenzeichen einfach weg ??

> die für alle i größer ist als [mm]a_{i}[/mm] .

Das stimmt so nicht. Schau dir das Majorantenkriterium genau an !


> Also habe ich eine Summe gesucht, die für jedes i größer
> ist:
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{unendlich} (\bruch{1}{i})[/mm] >
> [mm]\summe_{i=1}^{unendlich} (\bruch{1}{i(i+1)}-\bruch{4}{i})[/mm]
>
> und versucht die Konvergenz nachzuweisen. Dafür habe ich
> das Quotientenkriterium verwendet:
>  
> q =  [mm]\bruch{|\bruch{1}{i+1}|}{|\bruch{1}{i}|} = \bruch{i}{i+1}[/mm]

  < 1   weil (i+1) größer ist als i
  
> Nach dem Quotientenkriterium ist eine Reihe für q < 1
> absolut konvergent,      [haee]

Schau dir auch das Quotientenkriterium genau an !

>somit ist [mm]\summe_{i=1}^{unendlich} (\bruch{1}{i})[/mm]
> eine konvergente Majorante und beide Reihen konvergent.

> Grüße Philipp

Bezug
        
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:04 Fr 15.10.2010
Autor: pppppp

Hab erstmal geflucht aber habe gerade den Fehler gefunden: das Quotientenkriterium sagt ja gar nichts aus über limes [mm] a_{i-1} [/mm] / [mm] a_{i} [/mm] = 1 !!

Merci

Bezug
                
Bezug
Konvergenz einer Reihe: harmonische Reihe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:07 Fr 15.10.2010
Autor: reverend

...und dass die harmonische Reihe [mm] \summe\bruch{1}{n} [/mm] divergiert, ist absolut nötiges Grundwissen bei Reihen! Das ist also eine divergente Majorante, und damit sowieso nicht geeignet.
Grüße
reverend

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]