Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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b)
[mm]\bruch{3}{2}< \summe_{k=0}^{\infty} =\bruch{k+1}{3^k}<3[/mm] |
Hallo Hallo,
die vorige Aufgabe ist zu lösen mein Ansatz war der, dass ich die ersten 3 Glieder aus der Summe ziehe und eine Index transformation mache wodurch ich zu
[mm]2+ \summe_{m=4}^{\infty} =\bruch{m}{3^m-1}<3[/mm]
Nun habe ich gezeigt, dass die Sumem größer ist als 3/2 aber wie kann ich nun zeigen, dass sie auch kleiner ist als 3? Ich steh da leider ein wenig auf dem Schlauch,...
Viele Grüße
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Hallo Speedmaster,
> Zeigen Sie
> b)
> [mm]\bruch{3}{2}< \summe_{k=0}^{\infty} =\bruch{k+1}{3^k}<3[/mm]
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> Hallo Hallo,
> die vorige Aufgabe ist zu lösen mein Ansatz war der, dass
> ich die ersten 3 Glieder aus der Summe ziehe und eine Index
> transformation mache wodurch ich zu
>
> [mm]2+ \summe_{m=4}^{\infty} =\bruch{m}{3^m-1}<3[/mm]
> Nun habe ich
> gezeigt, dass die Sumem größer ist als 3/2
Ich hätte das über eine geometrishe Reihe gemacht.
Es ist ja [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{k+1}{3^k}>\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{3^k}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}[/mm]
> aber wie kann
> ich nun zeigen, dass sie auch kleiner ist als 3? Ich steh
> da leider ein wenig auf dem Schlauch,...
Auch mit einer geometrischen Reihe.
Vergrößere den Zähler: [mm]k+1<2k<2^k[/mm] ...
>
> Viele Grüße
>
>
Gruß
schachuzipus
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[mm]\summe_{k=1}^{\infty} =\bruch{2^k}{3^k} =\bruch{1}{1-\bruch{2}{3}}=3 [/mm]
Müsste also stimmen, ja?
Vielen Dank!
Den anderen Beweis hatte ich hier auch stehen aber dachte, dass der nicht so ganz eindeutig sei. Nun ists einleuchtend!
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Hallo nochmal,
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} =\bruch{2^k}{3^k} =\bruch{1}{1-\bruch{2}{3}}=3[/mm]
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> Müsste also stimmen, ja?
>
Ja, wenn du mal das erste "=" streichst, ist das der "Rest" der Abschätzung
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> Vielen Dank!
> Den anderen Beweis hatte ich hier auch stehen aber dachte,
> dass der nicht so ganz eindeutig sei. Nun ists
> einleuchtend!
Gruß
schachuzipus
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