Konvergenz einer Reihe < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man studiere die Konvergenz sowie die absolute Konvergenz der Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}} [/mm] |
Ok soviel zur Aufgabe.
Ich bin jetzt hergegangen und sage ich brauch hier das Leipniz Kriterium da vor dem Bruch dieser alternierende Term steht. Soweit so gut.
Nun heißt es ja die Reihe konvergiert wenn [mm] a_n [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist. Ab diesem Punkt komm ich dann nicht mehr richtig weiter, da ich es nicht schaffe zu beweisen dass [mm] a_n [/mm] auch Richtung Null geht. Für die Monotonie müsste ich dann wieder sagen [mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] a_{n} [/mm] bzw für die absolute Konvergenz | [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] | < 0. Ich weiß zwar wie das alles theoretisch funktioniert aber kanns leider nicht praktisch umsetzen.
Bitte um Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
ich nehme an, das ist eine Uniaufgabe?
> Ok soviel zur Aufgabe.
> Ich bin jetzt hergegangen und sage ich brauch hier das
> Leipniz Kriterium da vor dem Bruch dieser alternierende
> Term steht. Soweit so gut.
> Nun heißt es ja die Reihe konvergiert wenn [mm]a_n[/mm] eine
> monoton fallende Nullfolge ist. Ab diesem Punkt komm ich
> dann nicht mehr richtig weiter, da ich es nicht schaffe zu
> beweisen dass [mm]a_n[/mm] auch Richtung Null geht.
Hier ist eine Idee (zur Konvergenz von [mm] a_n):
[/mm]
[mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}}=\frac{1}{n}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}=\frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$
[/mm]
Der hintere Teile geht gegen etwas bekanntest und der erste Teil verschwindet für [mm] n\to \infty. [/mm]
> Für die Monotonie müsste ich dann wieder sagen [mm]a_{n+1}[/mm] < [mm]a_{n}[/mm] bzw
Mein Ansatz wäre [mm] a_{n+1}\frac{1}{a_{n}}\leq1 [/mm] für alle n, woraus ebenfalls monoton fallend folgt (da die Folgenglieder positiv sind). [mm] a_{n+1} [/mm] und [mm] a_n [/mm] dazu einsetzen:
[mm] a_{n+1}\frac{1}{a_{n}}=\bruch{(n+2)^{n+2}}{(n+1)^{n+3}}\bruch{n^{n+2}}{(n+1)^{n+1}} [/mm]
In Zähler und Nenner sind gleich viele Faktoren. Schätze sie geschickt miteinander ab!
> für die absolute Konvergenz | [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] | < [mm] \red{1}. [/mm]
bekommst du beim Monotoniebeweis geschenkt.
> Ich weiß zwar wie das alles theoretisch funktioniert aber
> kanns leider nicht praktisch umsetzen.
> Bitte um Hilfe
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
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ok danke für deine erklärung !
ja es ist eine uni aufgabe.
Lg
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Könnte ich dann zB bei folgendem Beispiel gleich vorgehen?
[mm] \bruch{n!}{n^{n-1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} \bruch{n!}{n^{n-2}}
[/mm]
Dann den limes davon berechnen und sagen der [mm] \bruch{1}{n} [/mm] Term geht gegen 0 und somit der hintere Ausdruck auch ?
Und somit ist der ganze Ausdruck eine Nullfolge?
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> Könnte ich dann zB bei folgendem Beispiel gleich
> vorgehen?
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> [mm]\bruch{n!}{n^{n-1}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n} \bruch{n!}{n^{n-2}}[/mm]
>
> Dann den limes davon berechnen und sagen der [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> Term geht gegen 0 und somit der hintere Ausdruck auch ?
> Und somit ist der ganze Ausdruck eine Nullfolge?
Das funktioniert nur, wenn du zeigst, dass der hintere Ausdruck beschränkt ist. Im vorigen Beispiel war das der Fall, es lag sogar Konvergenz vor.
>
[mm] a_n=$ \bruch{n!}{n^{n-1}} [/mm] $
Dann [mm] \frac{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n}}\bruch{n^{n-1}}{n!}=\frac{n+1}{n}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\to \frac{1}{e}
[/mm]
Im Zusammenhang mit einer Reihe geht hier also das QK sehr gut.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Mi 23.02.2011 | | Autor: | rawberrie |
Ok danke für deine Hilfe .
Wärt jetzt weiter ein paar Beispiele rechnen und dass so versuchen,
Schönen abend
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