Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Sa 25.06.2011 | | Autor: | winler |
| Aufgabe | Eine Reihe sei gegeben durch: [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch {(-1)^k}
{x^(2k+1)} [/mm] mit $ x [mm] \in\IR\sub$ [/mm] , $ [mm] \left | x \right [/mm] | > 1$
(a) Beweisen Sie, dass die Reihe konvergiert.
(b) Ermitteln Sie den Grenzwert der Reihe für x = 2 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
zu (a) Ich hab mich für den Beweis über das Quotientenkriterium entschieden.
also $ [mm] \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| \le [/mm] q<1 $ :
wäre in meinem Fall : $ [mm] \left|\frac{(-1)^{k+1} * x^{2k+1}}{(-1)^k * x^{2k+2}}\right| [/mm] = [mm] \left| \frac {-1} {x} \right| [/mm] = [mm] \frac{1}{x} \le [/mm] q < 1 $ , da , $ [mm] \left | x \right [/mm] | > 1 [mm] \rightarrow [/mm] $ absolute Konvergenz [mm] $\rightarrow [/mm] $ Konvergenz
wäre dies so richtig?
zu (b) habe ich keinen Ansatz....
muss ich einfach für x 2 einsetzten und dann nochmal durch das QK jagen??
Wie gesagt habe keinen Ansatz!
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Moin winler,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Eine Reihe sei gegeben durch: [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch {(-1)^k}{x^{2k+1}}[/mm]
> mit [mm]x \in\IR\sub[/mm] , [mm]\left | x \right | > 1[/mm]
>
> (a) Beweisen Sie, dass die Reihe konvergiert.
> (b) Ermitteln Sie den Grenzwert der Reihe für x = 2
>
> zu (a) Ich hab mich für den Beweis über das
> Quotientenkriterium entschieden.
> also [mm]\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| \le q<1[/mm] :
> wäre in meinem Fall : [mm]\left|\frac{(-1)^{k+1} * x^{2k+1}}{(-1)^k * x^{2k+2}}\right| = \left| \frac {-1} {x} \right| = \frac{1}{x} \le q < 1[/mm]
Das stimmt noch nicht.
Wie genau sieht dein [mm] a_k [/mm] aus? Der Exponent von x bei zwei benachbarten Folgenglieder sollte sich um 2 unterscheiden.
> , da , [mm]\left | x \right | > 1 \rightarrow[/mm] absolute
> Konvergenz [mm]\rightarrow[/mm] Konvergenz
>
> wäre dies so richtig?
>
> zu (b) habe ich keinen Ansatz....
> muss ich einfach für x 2 einsetzten und dann nochmal
> durch das QK jagen??
Das QK alleine wird dir den Wert der Reihe nicht liefern.
[mm] a_k=\frac{(-1)^k}{2^{2k+1}}=\frac{1}{2}\frac{(-1)^k}{2^{2k}}=\frac{1}{2}\frac{(-1)^k}{4^k}
[/mm]
Setze das in die Reihe für x=2 ein und wende die geometrische Summenformel an.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Sa 25.06.2011 | | Autor: | winler |
> Das stimmt noch nicht.
> Wie genau sieht dein [mm]a_k[/mm] aus? Der Exponent von x bei zwei
> benachbarten Folgenglieder sollte sich um 2 unterscheiden.
Hab ich mich verrechnet oder stimmt der Ansatz mit dem Quotientenkriterium nicht? Ich komm mit deinem Lösungsansatz leider nicht weiter.
> > zu (b) habe ich keinen Ansatz....
> > muss ich einfach für x 2 einsetzten und dann nochmal
> > durch das QK jagen??
> Das QK alleine wird dir den Wert der Reihe nicht liefern.
>
> [mm]a_k=\frac{(-1)^k}{2^{2k+1}}=\frac{1}{2}\frac{(-1)^k}{2^{2k}}=\frac{1}{2}\frac{(-1)^k}{4^k}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Setze das in die Reihe für x=2 ein und wende die
> geometrische Summenformel an.
>
> LG
Nach langem Grübeln glaube ich einen Ansatz zu haben :
Ich setzt also in die Reihe für x 2 ein:
$ \summe_{k=0}^{\infty} \bruch {(-1)^k}{2^{2k+1}} $
= $ \summe_{k=0}^{\infty} \bruch {(-1)^k}{2^{2k+1}} $
= $ \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{2}\frac{(-1)^k}{4^k} $
= $ \bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty}\left(\frac{(-1)}{4}\right ) ^k $
da $ \left|q \right | $ < 1 ist der Grenzwert $ \bruch{1}{2} * \bruch{1}{1 - \bruch{-1}{4}} = 2 $ ????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Sa 25.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und
> > Das stimmt noch nicht.
> > Wie genau sieht dein [mm]a_k[/mm] aus? Der Exponent von x bei
> zwei
> > benachbarten Folgenglieder sollte sich um 2 unterscheiden.
>
> Hab ich mich verrechnet oder stimmt der Ansatz mit dem
> Quotientenkriterium nicht? Ich komm mit deinem
> Lösungsansatz leider nicht weiter.
> > > zu (b) habe ich keinen Ansatz....
> > > muss ich einfach für x 2 einsetzten und dann
> nochmal
> > > durch das QK jagen??
> > Das QK alleine wird dir den Wert der Reihe nicht liefern.
> >
> >
> [mm]a_k=\frac{(-1)^k}{2^{2k+1}}=\frac{1}{2}\frac{(-1)^k}{2^{2k}}=\frac{1}{2}\frac{(-1)^k}{4^k}[/mm]
> >
> > Setze das in die Reihe für x=2 ein und wende die
> > geometrische Summenformel an.
> >
> > LG
>
> Nach langem Grübeln glaube ich einen Ansatz zu haben :
> Ich setzt also in die Reihe für x 2 ein:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch {(-1)^k}{2^{2k+1}}[/mm]
> =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch {(-1)^k}{2^{2k+1}}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{2}\frac{(-1)^k}{4^k}[/mm]
>
>
> = [mm]\bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty}\left(\frac{(-1)}{4}\right ) ^k[/mm]
>
> da [mm]\left|q \right |[/mm] < 1
Das sieht bis hierhin gut aus.
> ist der Grenzwert [mm]\bruch{1}{2} * \bruch{1}{1 - \bruch{-1}{4}} = 2[/mm] > ????
Das passt dann leider nicht.
Es gilt:
[mm] \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{4}\right)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{5}{4}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}=\frac{2}{5}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Sa 25.06.2011 | | Autor: | winler |
> Hallo und
>
>
> > > Das stimmt noch nicht.
> > > Wie genau sieht dein [mm]a_k[/mm] aus? Der Exponent von x bei
> > zwei
> > > benachbarten Folgenglieder sollte sich um 2 unterscheiden.
> >
> > Hab ich mich verrechnet oder stimmt der Ansatz mit dem
> > Quotientenkriterium nicht? Ich komm mit deinem
> > Lösungsansatz leider nicht weiter.
> > > > zu (b) habe ich keinen Ansatz....
> > > > muss ich einfach für x 2 einsetzten und dann
> > nochmal
> > > > durch das QK jagen??
> > > Das QK alleine wird dir den Wert der Reihe nicht liefern.
> > >
> > >
> >
> [mm]a_k=\frac{(-1)^k}{2^{2k+1}}=\frac{1}{2}\frac{(-1)^k}{2^{2k}}=\frac{1}{2}\frac{(-1)^k}{4^k}[/mm]
> > >
> > > Setze das in die Reihe für x=2 ein und wende die
> > > geometrische Summenformel an.
> > >
> > > LG
> >
> > Nach langem Grübeln glaube ich einen Ansatz zu haben :
> > Ich setzt also in die Reihe für x 2 ein:
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch {(-1)^k}{2^{2k+1}}[/mm]
> > =
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch {(-1)^k}{2^{2k+1}}[/mm]
> >
> > = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{2}\frac{(-1)^k}{4^k}[/mm]
> >
>
> >
> > = [mm]\bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty}\left(\frac{(-1)}{4}\right ) ^k[/mm]
>
> >
> > da [mm]\left|q \right |[/mm] < 1
>
> Das sieht bis hierhin gut aus.
>
> > ist der Grenzwert [mm]\bruch{1}{2} * \bruch{1}{1 - \bruch{-1}{4}} = 2[/mm]
> > ????
>
> Das passt dann leider nicht.
> Es gilt:
>
> [mm]\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{4}\right)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{5}{4}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}=\frac{2}{5}[/mm]
>
> Marius
>
ja natürlich! Es ist schon spät da verwechselt man mal gern was :)!
und was ist jetzt mit dem Beweis für Konvergenz :
$ [mm] \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| \le [/mm] q<1 $ :
wäre in meinem Fall : $ [mm] \left|\frac{(-1)^{k+1} \cdot{} x^{2k+1}}{(-1)^k \cdot{} x^{2k+2}}\right| [/mm] = [mm] \left| \frac {-1} {x} \right| [/mm] = [mm] \frac{1}{x} \le [/mm] q < 1 $ , da , $ [mm] \left | x \right [/mm] | > 1 [mm] \rightarrow [/mm] $ absolute Konvergenz $ [mm] \rightarrow [/mm] $ Konvergenz was ist da noch falsch?
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>$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch {(-1)^k}{x^{2k+1}} [/mm] $
> und was ist jetzt mit dem Beweis für Konvergenz :
> [mm]\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| \le q<1[/mm] :
> wäre in meinem Fall : [mm]\left|\frac{(-1)^{k+1} \cdot{} x^{2k+1}}{(-1)^k \cdot{} x^{2k+2}}\right| = \left| \frac {-1} {x} \right| = \frac{1}{x} \le q < 1[/mm]
> , da , [mm]\left | x \right | > 1 \rightarrow[/mm] absolute
> Konvergenz [mm]\rightarrow[/mm] Konvergenz was ist da noch falsch?
Es ist [mm] a_k=\bruch{(-1)^k}{x^{2k+1}} [/mm] und daher
[mm] \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\left|\frac{(-1)^{k+1}/x^{2(k+1)+1}}{(-1)^{k}/x^{2k+1}}\right|=\left|\frac{1}{x^2}\right|=\frac{1}{|x|^2}<1
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Sa 25.06.2011 | | Autor: | winler |
Danke für eure Hilfe !
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