Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Duden |
| Aufgabe | | Zu zeigen: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=3}^{n}\bruch{1}{k^{2}-3k+2}= \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{(k+1)(k+2)} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallöchen, der Anfang der Aufgabe geht noch, eigentlich habe ich die Lösung auch schon raus,aber ich weiß nicht, wie man es zeigt. Ich muss den [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] irgendwie in die Summe reinbekommen, damit ich ein paar Summanden abspalten kann, um den [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] in die Summe zu ziehen, muss ich jedoch zeigen, dass [mm] \summe_{k=3}^{n}\bruch{1}{(k-1)(k-2)} [/mm] konvergent ist denke ich, sonst darf man das nicht oder?
Auf jeden Fall ist [mm] \summe_{k=3}^{n}\bruch{1}{(k-1)(k-2)} [/mm] monoton steigend, da [mm] a_{n}-a_{n+1}>0 [/mm] ist.
Doch wie zeige ich mit dem Konvergenzkriterium allgemein, dass meine Summe konvergiert bzw. wie zeige ich die Beschränktheit?
Wenn ich die ersten Summanden berechne, nähert sich die Reihe irgendwie gegen 1, auch WolframAlpha gibt mir eine Konvergenz [mm] \bruch{n-2}{n-1} [/mm] vor, aber ich weiß nicht, wie ich darauf kommen sollte bzw. was ich jetzt genau machen muss. Nach oben mit einer anderen Reihe abschätzen? Allgemein mit dem Konvergenzkriterium die Konvergenz zeigen? (Wobei ich da kein n rausbekomme, ab dem dann [mm] |a-a_{n}|< \varepsilon [/mm] ist.
Ich bitte um Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Sa 03.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Finde a und b mit:
[mm] \bruch{1}{(k+1)(k+2)}=\bruch{a}{k+1}+\bruch{b}{k+1}
[/mm]
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Sa 03.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Zu zeigen:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=3}^{n}\bruch{1}{k^{2}-3k+2}= \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{(k+1)(k+2)}[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallöchen, der Anfang der Aufgabe geht noch, eigentlich
> habe ich die Lösung auch schon raus,aber ich weiß nicht,
> wie man es zeigt. Ich muss den [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> irgendwie in die Summe reinbekommen, damit ich ein paar
> Summanden abspalten kann, um den
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] in die Summe zu ziehen, muss
> ich jedoch zeigen, dass
> [mm]\summe_{k=3}^{n}\bruch{1}{(k-1)(k-2)}[/mm] konvergent ist denke
> ich, sonst darf man das nicht oder?
>
> Auf jeden Fall ist [mm]\summe_{k=3}^{n}\bruch{1}{(k-1)(k-2)}[/mm]
> monoton steigend, da [mm]a_{n}-a_{n+1}>0[/mm] ist.
>
> Doch wie zeige ich mit dem Konvergenzkriterium allgemein,
> dass meine Summe konvergiert bzw. wie zeige ich die
> Beschränktheit?
> Wenn ich die ersten Summanden berechne, nähert sich die
> Reihe irgendwie gegen 1, auch WolframAlpha gibt mir eine
> Konvergenz [mm]\bruch{n-2}{n-1}[/mm] vor, aber ich weiß nicht, wie
> ich darauf kommen sollte bzw. was ich jetzt genau machen
> muss. Nach oben mit einer anderen Reihe abschätzen?
> Allgemein mit dem Konvergenzkriterium die Konvergenz
> zeigen? (Wobei ich da kein n rausbekomme, ab dem dann
> [mm]|a-a_{n}|< \varepsilon[/mm] ist.
>
> Ich bitte um Hilfe!
Hallo,
es handelt sich hier doch nur um eine Indexverschiebung.
Der Term [mm] $k^2-3k+2$ [/mm] lässt sich faktorisieren zu (k-2)(k-1), und die Zählung beginnt bei k=3. Somit lautet der Nenner des ersten Summanden (3-2)*(3-1), also 1*2.
Das gleiche erhält man in der anderen Summe aus (k+1)(k+2), wenn die Zählung mit k=0 beginnt.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Duden |
Danke schonmal, dass ich Partialbrüche machen und den Index verschieben muss, das weiß ich.
Jedoch habe ich die Indexverschiebung so gelernt, dass z.B. in diesem Fall [mm] \summe_{k=3}^{n}, [/mm] wenn ich den Index um 3 nach unten verschiebe sich [mm] \summe_{k=0}^{n-3} [/mm] ergibt. Nun muss ich doch aber zeigen, dass die Reihe mit [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] gleich ist, deshalb hatte ich mir überlegt, den Limes in die Summe reinzuziehen, die 3 Glieder der Summe mit k=n-3, k=n-2 und k=n-1 abzuspalten und den Grenzwert anzuwenden, bei dem 0 herauskommen würde, also ungefähr so:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{(k+1)(k+2)}+ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(n-1)(n-2)}+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n(n-1)}+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(n+1)n}
[/mm]
und man somit [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{(k+1)(k+2)} [/mm] hätte.
Habe ich einen Denkfehler? Ich weiß, dass es nicht viel ausmacht, ob man die Reihe gegen bis n oder n-3 gehen lässt, aber wenn man die Reihe bis 3 gehen lässt wäre es ja keine Indexverschiebung im eigentlich Sinne würde ich behaupten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Sa 03.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Danke schonmal, dass ich Partialbrüche machen und den
> Index verschieben muss, das weiß ich.
> Jedoch habe ich die Indexverschiebung so gelernt, dass
> z.B. in diesem Fall [mm]\summe_{k=3}^{n},[/mm] wenn ich den Index um
> 3 nach unten verschiebe sich [mm]\summe_{k=0}^{n-3}[/mm] ergibt. Nun
> muss ich doch aber zeigen, dass die Reihe mit
> [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] gleich ist, deshalb hatte ich mir
> überlegt, den Limes in die Summe reinzuziehen, die 3
> Glieder der Summe mit k=n-3, k=n-2 und k=n-1 abzuspalten
> und den Grenzwert anzuwenden, bei dem 0 herauskommen
> würde, also ungefähr so:
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{(k+1)(k+2)}+ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(n-1)(n-2)}+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n(n-1)}+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(n+1)n}[/mm]
>
> und man somit [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{(k+1)(k+2)}[/mm]
> hätte.
>
> Habe ich einen Denkfehler? Ich weiß, dass es nicht viel
> ausmacht, ob man die Reihe gegen bis n oder n-3 gehen
> lässt, aber wenn man die Reihe bis 3 gehen lässt wäre es
> ja keine Indexverschiebung im eigentlich Sinne würde ich
> behaupten
Ja, dann geht die erste Summe eben nur bis n-3. Dann reicht es doch zu zeigen, dass die Summe der restlichen drei Glieder gegen Null geht.
Du kannst aber auch ohne Indexverschiebung arbeiten und [mm]\bruch{1}{(k+1)(k+2)}[/mm] als [mm]\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k+2}[/mm] schreiben, dann ergibt sich eine wunderschöne Teleskopsumme.
Gruß Abakus
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