Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Mi 17.04.2013 | | Autor: | BamPi |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^3*3^n}{(5+(-1)^n)^n} [/mm] |
Hallo,
bei mir klemmts gerade leider einwenig bei dieser Reihe.
Ich habe sie umformuliert zu
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^3*3^n}{(5+(-1)^n)^n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^3}{(\bruch{5}{3}+\bruch{1}{3}(-1)^n)^n}
[/mm]
Nun komme ich jedoch schon nicht weiter. Ich würde jetzt schauen ob [mm] n^3 [/mm] oder [mm] (\bruch{5}{3}+\bruch{1}{3}(-1)^n)^n [/mm] schneller wächst. Ich wüsste jedoch nicht, wie ich das mathematisch korrekt zeigen könnte ? Ich habe leider kein anwendbares Konvergenzkriterium für Reihen gefunden das hier passen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Mi 17.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^3*3^n}{(5+(-1)^n)^n}[/mm]
> Hallo,
>
> bei mir klemmts gerade leider einwenig bei dieser Reihe.
> Ich habe sie umformuliert zu
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^3*3^n}{(5+(-1)^n)^n}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^3}{(\bruch{5}{3}+\bruch{1}{3}(-1)^n)^n}[/mm]
>
> Nun komme ich jedoch schon nicht weiter. Ich würde jetzt
> schauen ob [mm]n^3[/mm] oder [mm](\bruch{5}{3}+\bruch{1}{3}(-1)^n)^n[/mm]
> schneller wächst. Ich wüsste jedoch nicht, wie ich das
> mathematisch korrekt zeigen könnte ? Ich habe leider kein
> anwendbares Konvergenzkriterium für Reihen gefunden das
> hier passen könnte.
Wie wärs mit dem Wurzelkriterium ???
Wenn Du die lim sup - Formulierung (http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelkriterium) nicht kennst, kannst Du auch so vorgehen:
Sei [mm] a_n:=\bruch{n^3*3^n}{(5+(-1)^n)^n}.
[/mm]
Zeige: 0 [mm] \le a_n \le n^3*(\bruch{3}{4})^n=:b_n.
[/mm]
Zeige, dass [mm] \sum b_n [/mm] konvergiert.
Warum konvergiert dann [mm] \sum a_n [/mm] ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Mi 17.04.2013 | | Autor: | BamPi |
Danke, das Wurzelkriterium habe ich ganz vergessen. Ich bekomme dann zwei Häufungspunkte {1/2 ; 3/4} < 1, den lim sup = 3/4 und somit absolute Konvergenz der Reihe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Mi 17.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke, das Wurzelkriterium habe ich ganz vergessen. Ich
> bekomme dann zwei Häufungspunkte {1/2 ; 3/4} < 1, den lim
> sup = 3/4 und somit absolute Konvergenz der Reihe.
Bingo !
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^3*3^n}{(5+(-1)^n)^n}[/mm]
> Hallo,
>
> bei mir klemmts gerade leider einwenig bei dieser Reihe.
> Ich habe sie umformuliert zu
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^3*3^n}{(5+(-1)^n)^n}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^3}{(\bruch{5}{3}+\bruch{1}{3}(-1)^n)^n}[/mm]
>
> Nun komme ich jedoch schon nicht weiter. Ich würde jetzt
> schauen ob [mm]n^3[/mm] oder [mm](\bruch{5}{3}+\bruch{1}{3}(-1)^n)^n[/mm]
> schneller wächst.
wieso machst Du sowas? Es gibt sowas wie ein Vergleichskriterium für Reihen (Heuser,
Analysis I, oder lies einfach mal hier (klick!)), das kann
man hier auch anwenden, es läuft aber dann im Wesentlichen auf das hinaus,
was Fred (bei seinem zweiten Vorschlag) auch erwähnt!
> Ich wüsste jedoch nicht, wie ich das
> mathematisch korrekt zeigen könnte ? Ich habe leider kein
> anwendbares Konvergenzkriterium für Reihen gefunden das
> hier passen könnte.
Fred hat schon das Wurzelkriterium erwähnt. Dann hat er noch auf ein anderes
Kriterium verwiesen, das er nicht konkret benannt hat, weil er den Namen von
Dir hören will - also welches meint er wohl?
Zudem frage ich mich oben, warum Du nicht einfach mal rechnest: Selbst, wenn Du
beim Wurzelkriterium aus irgendeinem Grund nicht weiterkommst, gibt es ja auch
noch das Quotientenkriterium (QK). Wo hapert's denn da?
P.S. Ich sage nicht, dass das QK hier funktioniert - ich will einfach nur mal sehen,
was Du rechnest und was Du daraus folgerst!
Gruß,
Marcel
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