Konvergenz einer unendl. Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Untersuche auf Konvergenz: [mm] \summe_{k=1}^{\infty} k^{a} a^{k} [/mm] |
Also [mm] a_{k} [/mm] = [mm] k^{a} a^{k} [/mm] . Das kann ich auch schreiben als
[mm] e^{a*ln(k)} e^{k*ln(a)}= e^{a*ln(k)+k*ln(a)}
[/mm]
Jetzt mit Quotientenkriterium: [mm] a_{k+1}= e^{a*ln(k+1)+(k+1)*ln(a)}
[/mm]
[mm] \bruch{a_{k}}{a_{k+1}}=\bruch{ e^{a*ln(k)+k*ln(a)}}{e^{a*ln(k+1)+(k+1)*ln(a)}
}
[/mm]
= [mm] e^{a*ln(k)+k*ln(a)-a*ln(k+1)-(k+1)*ln(a)} [/mm] = [mm] e^{a*ln(k)+k*ln(a)-a*ln(k+1)-k*ln(a)-ln(a)} [/mm] = [mm] e^{a*ln(k)-a*ln(k+1)-ln(a)} [/mm] Also bis hier hab ich bloß zusammengefasst und "gekürzt"
Jetzt mit Logarithmusgesetz:
[mm] e^{a*ln(\bruch{k}{k+1}) - ln(a)} =e^{a*ln(1-\bruch{1}{k+1}) - ln(a)} [/mm]
Nun:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} e^{a*ln(1-\bruch{1}{k+1}) - ln(a)} [/mm] = [mm] e^{-ln(a)}=\bruch{1}{a}
[/mm]
Vielleicht kann mal jemand einen Blick drauf werfen und sich kritisch äußern ;)
Danke
Phys1kauer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Fr 02.02.2007 | | Autor: | smee |
Hallo!
Ich glaube, du hast das Quot.kriterium "verdreht" 
Ich bin mir zwar nicht 100% sicher, aber ich denke, du kannst auch wie folgt da rangehen ...
[mm]| \bruch{a_{n+1}}{a_n} | = | \bruch{(k+1)^a*a^{k+1}}{k^a*a^k} | = | (\bruch{k+1}{k})^a * a |[/mm]
Nun kannst du ja in Abhängigkeit von a eine Aussage über die Konvergenz der Reihe treffen ...
Gruß,
Carsten
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