Konvergenz einer unendlichen R < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Di 08.02.2005 | | Autor: | Olli80 |
Hallo,
ich bin neu hier und habe bei folgender Aufgabe ein Problem:
Geben Sie an, für welche q [mm] \in \IR [/mm] die unendliche Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{(2-q)^{k+2}\*(2+q)^{k}}{1000}
[/mm]
konvergiert und bestimmen Sie in diesem Fall den Grenzwert in Abhängigkeit von q.
Mein Lösungsansatz führt mich zu:
[mm] \bruch{1}{1000} \summe_{k=0}^{ \infty} (4-4q-q^{2}) \*(4-q^{2})^{k}
[/mm]
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann.
Olli
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Di 08.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Olli,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Und als Neuling auch fast alles richtig gemacht! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Geben Sie an, für welche q [mm]\in \IR[/mm] die unendliche Reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{(2-q)^{k+2}\*(2+q)^{k}}{1000}[/mm]
> konvergiert und bestimmen Sie in diesem Fall den Grenzwert
> in Abhängigkeit von q.
>
> Mein Lösungsansatz führt mich zu:
> [mm]\bruch{1}{1000} \summe_{k=0}^{ \infty} (4-4q-q^{2}) \*(4-q^{2})^{k}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das sieht doch schon mal ganz gut aus.
Den Ausdruck [mm] $4-4q-q^{2}$ [/mm] kannst Du ebenfalls vor das Summenzeichen ziehen; er ist ja unabhängig von der Zählervariable $k$.
Damit haben wir:
[mm]\bruch{4-4q-q^{2}}{1000} \summe_{k=0}^{\infty} (4-q^{2})^{k} [/mm]
Damit unsere Reihe überhaupt konvergiert, ist es erforderlich daß die einzelnen Glieder der Reihe eine Nullfolge darstellen (notwendiges Kriterium).
Es muß also gelten
[mm] $\limes_{k\rightarrow\infty} a_k [/mm] \ = \ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} (4-q^{2})^{k} [/mm] \ = \ 0$
Dabei handelt es sich hier ja um eine geometrische Folge.
Diese ist genau dann eine Nullfolge, wenn gilt:
[mm] $\left| \ 4-q^{2} \ \right| [/mm] \ < \ 1$ [mm] $\gdw$ [/mm] $-1 \ < \ [mm] 4-q^2 [/mm] \ < \ +1$
Dies' also nun nach $q$ umformen.
Kommst Du nun alleine weiter?
Poste doch einfach mal Deine weiteren Ergebnisse, wenn Du möchtest ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Di 08.02.2005 | | Autor: | Olli80 |
Hallo Loddar,
wenn ich -1 < 4 - [mm] q^{2} [/mm] < 1 berechne, erhalte ich ja folgendes Intervall:
] [mm] \wurzel{3}; \wurzel{5}[
[/mm]
Damit kann ich irgendwie nix anfangen :-(
Gruß
Olli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Di 08.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Olli!
> wenn ich -1 < 4 - [mm]q^{2}[/mm] < 1 berechne, erhalte ich ja
> folgendes Intervall: [mm] \red{|q|} \ \in \ ] \ \wurzel{3}; \wurzel{5} \ [ [/mm]
Damit hast Du ja bereits (fast) ermittelt, für welche $q$ Deine unendliche Reihe konvergiert, nämlich für [mm] $\wurzel{3} [/mm] \ < \ |q| \ < \ [mm] \wurzel{5}$
[/mm]
Für die (unendliche) geometrische Reihe existiert folgender Grenzwert für $|x| < 1$: [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} x^n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1-x}$
[/mm]
Damit kannst Du nun auch Deinen Grenzwert der Reihe ermitteln, wenn Du für $x$ nun [mm] $4-q^2$ [/mm] einsetzt und das mit unserem Bruch vor dem Summenzeichen zusammenfaßt.
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Di 08.02.2005 | | Autor: | Olli80 |
Hallo Loddar,
ich habe mich zwischenzeitlich auch weiter mit meinem Problem beschäftigt.
Für
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{4-4q-q^{2}}{1000} \summe_{k=0}^{\infty} (4-q^{2})^{k} [/mm] erhalte ich:
[mm] \begin{cases} \bruch{4-4q-q^{2}} {1000} / 1-(4-q^{2}), & \mbox{für } \wurzel{3} \ < \ |q| \ < \ \wurzel{5} \\ \infty, & \mbox{für } 4-q^{2} \ge \wurzel{5} und \bruch{4-4q-q^{2}}{1000} \ge 0
\end{cases}
[/mm]
Viele Grüße
Olli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Di 08.02.2005 | | Autor: | Max |
Wegen der Konvention "Punktrechnung vor Strichrechnung" solltest du noch eine Klammer im Nenner setzten  Also [mm] $\frac{4-4q-q^2}{1000}/\left( 1- (4-q^2)\right) [/mm] = [mm] \frac{4-4q-q^2}{1000(q^2-3)}$
[/mm]
Gruß Brackhaus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Di 08.02.2005 | | Autor: | Olli80 |
Hallo,
danke an Loddar und Brackhaus für die schnelle und verständliche Hilfe.
Viele Grüße
Olli
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