Konvergenz für bestimmte x < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:28 Fr 05.08.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Geben Sie an, für welche [mm] $x\in \IR$ [/mm] die folgenden Reihen konvergieren:
1. [mm] $\sum_{n\in \IN} \frac{(-1)^{n}x^{n}}{n+1}$
[/mm]
2. [mm] $\sum_{n \in \IN} (2x)^{2n}$ [/mm] |
Hallo,
1. Für alle $x<1$ konvergiert, für alle $x>1$ divergiert die Reihe.
2. Für alle $x < 0.5$ konvergiert und für alle $x > 0.5$ divergiert die Reihe.
Ist das so richtig?
Danke für jegliche Hilfestellung.
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Geben Sie an, für welche [mm]x\in \IR[/mm] die folgenden Reihen
> konvergieren:
>
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> 1. [mm]\sum_{n\in \IN} \frac{(-1)^{n}x^{n}}{n+1}[/mm]
>
> 2. [mm]\sum_{n \in \IN} (2x)^{2n}[/mm]
> Hallo,
>
>
> 1. Für alle [mm]x<1[/mm] konvergiert, für alle [mm]x>1[/mm] divergiert die
> Reihe.
Letzteres stimmt zwar, scheint mir aber mehr geraten.
Du hast doch hier Potenzreihen vorliegen (mit Entwicklungspunkt [mm] $x_0=0$)
[/mm]
Da bestimmt gem. Cauchy-Hadamard den Konvergenzradius [mm] $\rho$
[/mm]
Dann ergibt sich Konvergenz für [mm] $|x|<\rho$ [/mm] und Divergenz für [mm] $\rho>1$
[/mm]
Wie es an den Randstellen [mm] $x=\pm\rho$ [/mm] aussieht, musst du durch Einsetzen in die Reihe separat prüfen.
> 2. Für alle [mm]x < 0.5[/mm] konvergiert und für alle [mm]x > 0.5[/mm]
> divergiert die Reihe.
Hier gilt selbiges wie oben ... aber $0,5$ ist schon mal eine richtige Zahl ... 
>
>
>
> Ist das so richtig?
>
>
> Danke für jegliche Hilfestellung.
>
>
>
> Gruss
> kushkush
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Fr 05.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo schachuzipus,
> Potenzreihe
Schön !!
Cauchy Hadamard und Potenzreihen sind an dieser Stelle noch nicht eingeführt worden, daher denke ich man muss eine der Kriteriensätze verwenden und dann schauen für welche x dass es konvergiert!
Habe das mit dem Quot. Krit. gemacht und bin so auf die Zahlen gekommen.
> Randstelle
1. für $x =1 $ konvergiert es nach leibniz, für $x=-1$ divergiert es wenn man als majorante die harmonische Reihe nimmt !
2. ob $x=0.5 $ oder $-x=0.5$ macht hier wegen der Potenz keinen Unterschied, es ist eine geometrische reihe und die konvergiert!
So oK?
> GruB
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Fr 05.08.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo schachuzipus,
>
> > Potenzreihe
>
> Schön !!
> Cauchy Hadamard und Potenzreihen sind an dieser Stelle noch
> nicht eingeführt worden, daher denke ich man muss eine der
> Kriteriensätze verwenden und dann schauen für welche x
> dass es konvergiert!
>
> Habe das mit dem Quot. Krit. gemacht und bin so auf die
> Zahlen gekommen.
>
> > Randstelle
>
> 1. für [mm]x =1[/mm] konvergiert es nach leibniz, für [mm]x=-1[/mm]
> divergiert es wenn man als majorante die harmonische Reihe
> nimmt !
>
> 2. ob [mm]x=0.5[/mm] oder [mm]-x=0.5[/mm] macht hier wegen der Potenz keinen
> Unterschied, es ist eine geometrische reihe und die
> konvergiert!
Für x=0,5 konvergiert es also?
Welchen Wert nimmt denn 1+1+1+1+.... an?
Überprüfe auch x=-0,5 entsprechend.
Gruß Abakus
>
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> So oK?
>
>
> > GruB
> Danke
>
> Gruss
> kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Fr 05.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> für $x=0.5$ konvergiert es also??
Nein...
> GruB abakus
Danke.
Gruss
kushkush
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