Konvergenz gegen 1 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man zeige [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}=1. [/mm] |
Mein Problem ist folgendes:
Den Satz von De l'Hospital dürfen wir nicht verwenden (das wäre ja auch zu einfach).
Also habe ich mich für das Einschließungskriterium entschieden: Eine kleinere gegen 1 konvergente Folge zu finden war ja noch nicht schwer: 1. Aber eine größere gegen 1 konvergente Folge zu finden, schaff ich nicht. Ich habe einige ausprobierte und meistens vor oder während der Induktion gesehen, dass sie kleiner sind. Ich weiß bis jetzt nur, dass es sicher nicht 1 + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist; da scheitere ich schon bei meiner Induktionsverankerung n=5.
Bitte um Hilfe!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Fr 10.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
also sei [mm] a_n=\wurzel[n]{n} [/mm] und [mm] b_n=a_n-1\ge{0}
[/mm]
dann gilt für [mm] n\ge{2}
[/mm]
[mm] n=(1+b_n)^n\ge\vektor{n \\ 2}b_n^2=\br{n(n-1)}{2}b_n^2 [/mm] (Binomische Formel)
daraus folgt
[mm] 0\le{b_n}\le\wurzel{\br{2}{n-1}} [/mm] also
[mm] 0\le{a_n}-1\le\epsilon [/mm] falls [mm] n\ge\br{2}{\epsilon^2}+1
[/mm]
also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}=1
[/mm]
mfg ullim
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Vielen Danke für die rasche Antwort.
Ich hab aber dazu noch eine Frage:
Warum darf ich annehmen n [mm] \ge [/mm] 2 und n = (1 + [mm] b_{n})^{n}?
[/mm]
Alles andere war für mich klar und nachvollziehbar erklärt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Fr 10.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
n muss [mm] \ge{2} [/mm] sein, damit für den Binomialkoeffizient [mm] \vektor{n \\ 2}=\br{n(n-1)}{2} [/mm] gilt, das ist auch keine Einschränkung, da Du ja den Grenzwert für unendlich berechnen sollst, und
[mm] n=(1+b_n)^n [/mm] gilt, weil [mm] 1+b_n=a_n, [/mm] also [mm] n=(1+b_n)^n [/mm] identisch mit [mm] n=a_n^n [/mm] ist und das ist die Definition Deiner Folge
[mm] a_n=\wurzel[n]{n}
[/mm]
mfg ullim
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