Konvergenz geom. Reihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Mi 26.07.2006 | | Autor: | dump_0 |
| Aufgabe | Warum konvergiert die Reihe $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{i + 1}{2})^k$ [/mm] ?
Berechnen Sie die Summe. |
Also das es eine geom. Reihe ist sieht man ja, die Summe müsste daher
[mm] $\bruch{1}{1 - \bruch{i + 1}{2}}$ [/mm] sein?
Nur wie begründe ich jetzt, das die Reihe konvergiert, wenn ich das Wurzelkriterium anwende, komme ich auf den Ausdruck in der Klammer. Jetzt weiß ich auch leider nicht ob der Zähler hier ne komplexe Zahl sein soll wegen dem i, aber ich denke schon oder?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Barncle |
Also die Begründung ist einfach die Tatsache, dass es eine geometrische Reihe ist! Daraus folgt die Konvergenz. und die Bedingung dass [mm] \left| \left( \bruch{i+1}{2} \right) \right| [/mm] < 1 ist, ist ja gegeben.
Die Frage ist nur ob das auch so ohne weiters für Komplexe Zahlen gilt..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Barncle |
Gilt die geometr. Reihe auch für komplexe Zahlen, also ist:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+q} [/mm] für [mm] \left| \left( q \right) \right| [/mm] < 1, q [mm] \in \IZ
[/mm]
???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Mi 26.07.2006 | | Autor: | dump_0 |
Also ich habe gerade nochmal in meinem Skript nachgeschaut, demnach sollte sie auch für komplexe Zahlen gelten.
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