Konvergenz in Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Di 19.06.2012 | | Autor: | JC1989 |
| Aufgabe | Es seien [mm] X_{1},...,X_{n} [/mm] unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen und es sei
[mm] Y_{n}:=\bruch{X_{1}+...+X_{n}}{n}
[/mm]
Zeigen Sie mit Hilfe des Faltungssatzes für die Normalverteilung, dass [mm] Y_{n} [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] in Verteilung gegen 0 konvergiert. |
Also mich interessiert die Verteilung von [mm] Y_{n}. [/mm] Also berechne ich die rechte Seite. Es folgt [mm] \bruch{X_{1}+...+X_{n}}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}*\summe_{i=1}^{n}X_{i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}*S_{n} [/mm] mit [mm] S_{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}X_{i}, [/mm] und [mm] S_{n} \sim [/mm] N(0*n;n*1) (Nach Faltungssatz).
Mein Problem liegt jetzt darin, dass ich im Internet häufig gefunden habe, dass [mm] \bruch{1}{n}*S_{n} [/mm] in diesem Falle [mm] N(0;\bruch{1}{n}) [/mm] verteilt sein müsste. Allerdings komme ich nicht darauf, wenn ich die Dichte von [mm] S_{n}*\bruch{1}{n} [/mm] berechnen möchte. Wie kommt man also auf die obig genannte Verteilung von [mm] \bruch{1}{n}*S_{n}?
[/mm]
MFG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Di 19.06.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin JC1989.
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
[mm] $Y_n=\frac{1}{n}S_n$ [/mm] ist ja als Lineartransformation vom normalverteilten [mm] $S_n$ [/mm] normalverteilt. Und nach einer alten Bauernregel ist [mm] $\operatorname{Var}[Y_n]=\frac{1}{n^2}\operatorname{Var}[S_n]$ [/mm] ...
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Di 19.06.2012 | | Autor: | JC1989 |
Danke für den Tipp!
Nun weiß ich also, dass [mm] Y_{n} \sim N(0;\bruch{1}{n}) [/mm] verteilt ist.
Nun muss ich noch zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}F_{n}(t)=0 [/mm] ist.
Wie zeige ich, dass diese Verteilungs funktion jetzt für n gegen unendlich gegen 0 konvergiert? Habe probiert, dass Integral in der Verteilungsfunktion zu lösen, wo ich allerdings nicht weitergekommen bin.
Außerdem habe ich gerade gelesen, dass sich das Integral der Normalverteilung nicht auf eine elementare Stammfunktion zurückführen lässt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Di 19.06.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
nach Def 11.1c ![[]](/images/popup.gif) hier musst du [mm] $\lim_{n\to\infty}F_n(t)=0$ [/mm] fuer $t<0$ und [mm] $\lim_{n\to\infty}F_n(t)=1$ [/mm] fuer $t>0$ zeigen. Dabei ist [mm] $F_n$ [/mm] die Verteilungsfunktion von [mm] $Y_n$.
[/mm]
Es gilt [mm] F_n(t)=\Phi(\sqrt{n}t) [/mm] ...
vg Luis
|
|
|
|
