Konvergenz in Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] X_n, [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] eine Folge von Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{<0} \\x*(1-\bruch{sin(2pi*n*x)}{2n*pi*x}, & \mbox{für } x \mbox{ 0 <= x < 1} \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{ x => 1} \end{cases}
[/mm]
Man zeige, dass [mm] X_n [/mm] in Verteilung gegen eine gleichverteilte Größe X ~ [mm] U_{0,1} [/mm] komvergiert. Konvergerien auch die Dichten dieser Verteilung. |
Also mein Problem ist, ich weiß wie man normalerweise berechnet in welchem Sinn eine Funktionsfolge konvergiert, man untersucht z.b Lp Konvergenz, Konvergenz in Wahrscheinlichkeit, in Verteilung, nur wie mache ich es da? ich tu mir schwer wegen der Aufteilung, ich nehme mal an, ich muss den mittleren Term untersuchen, weil 1 und 0 sind ja fixe Werte. Ist meine Überlegung soweit richtig??
Eine Folge konvergiert ja genau dann in Verteilung wenn
lim
n-> [mm] \infty [/mm] F [mm] X_n [/mm] -> Fx
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:36 Mo 01.10.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
die Verteilungsfunktion der vermeintlichen Grenzverteilung ist
$ [mm] F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x <0 \\x, & \mbox{für } 0 \le x < 1 \\ 1, & \mbox{für } x \ge 1 \end{cases} [/mm] $
Zeige nun [mm] $\lim_{n\to\infty}F_{X_n}(x)=F(x)$ [/mm] fuer $0 [mm] \le [/mm] x < 1$.
vg Luis
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vielen Dank für die Antwort. Nur hätte ich weitere Fragen bzgl. Konvergenz
also ich lasse n-> [mm] \infty [/mm] x(1 - [mm] \bruch{sin(2\pi*n*x}{2\pi*n*x})
[/mm]
Nur ist ja x => 0, was ist mit dem Fall x=0? wie untersuche ich den?
edit: für x = 0, würde ja bei dem ganzen Term 0 rauskommen, und das wäre ja wieder das x, also würde es stimmen
und für x > 0 habe ich folgendes,
also Ich habe bei der Konvergenz so argumentiert, dass der Zähler nur zwischen 0 - 1 sein kann, wenn wir beim Nenner n -> [mm] \infty [/mm] laufen lassen, dann divergiert der Nenner ja gegen [mm] \infty, [/mm] und der 0 <= Zähler < 1, was kann ich da zur Konvergenz sagen des gesamten Bruchs sagen? Ich würde sagen, dass der limes 0 wäre?
und dann habe ich ja x(1- Term) und wenn der Term -> 0 geht, dann habe ich x(1-0) = x. stimmt meine Argumentation?
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Und wie kann ich zeigen, dass es gegen eine gleichverteilte Größe X ~ U(0,1) konvegiert?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Mo 01.10.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
$x(1 - [mm] \bruch{\sin(2\pi\cdot{}n\cdot{}x)}{2\pi\cdot{}n\cdot{}x)})=x-\bruch{\sin(2\pi\cdot{}n\cdot{}x)}{2\pi\cdot{}n}$.
[/mm]
Der Sinus ist beschraenkt ...
vg Luis
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