Konvergenz in Wkt/Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Mi 21.07.2010 | | Autor: | mau |
| Aufgabe | Sei [mm] ([0,1]),\IB([0,1]),\IP) [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum mit dem Lebesgue-Maß [mm] \IP [/mm] . Wir definieren die folgende [mm] \IR [/mm] wertigen, diskreten Zufallsvariablen:
[mm] X:=\chi_{[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]} [/mm]
und
[mm] X_n:=\chi_{[0,\frac{1}{2}+\frac{1}{n}]} [/mm]
für n=1,2,3,....
Zeigen sie, dass hier für n --> [mm] \infty [/mm] zwar
[mm] X_n [/mm] --> X (in Verteilung)
aber nicht
[mm] X_n [/mm] --> X (in Wahrscheinlichkeit) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo
mit [mm] \chi [/mm] meine ich die charakteristische funktion
also mir ist klar was das Lebesgue-Maß ist und das dieses auf [0,1] ein W-Maß ist, und auch was konvergenz in wahrscheinlichkeit/verteilung bedeutet.
Leider weiß ich nicht wie man so etwas generell beweist
Das mal an diesem einfacheren Beispiel zu sehen würde mir sehr helfen :)
Auch über Ansätze und gute Tipps zum generellen Beweisen solcher Aufgaben würde ich mich freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Mi 21.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Sei [mm]([0,1]),\IB([0,1]),\IP)[/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum mit
> dem Lebesgue-Maß [mm]\IP[/mm] . Wir definieren die folgende [mm]\IR[/mm]
> wertigen, diskreten Zufallsvariablen:
>
> [mm]X:=\chi_{(\frac{1}{4},\frac{3}{4})}[/mm]
> und
> [mm]X_n:=\chi_{(0,\frac{1}{2}+\frac{1}{n})}[/mm]
> für n=1,2,3,....
>
> Zeigen sie, dass hier für n --> [mm]\infty[/mm] zwar
> [mm]X_n[/mm] --> X (in Verteilung)
>
> aber nicht
> [mm]X_n[/mm] --> X (in Wahrscheinlichkeit)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo
>
> mit [mm]\chi[/mm] meine ich die charakteristische funktion
>
> also mir ist klar was das Lebesgue-Maß ist und das dieses
> auf [0,1] ein W-Maß ist, und auch was konvergenz in
> wahrscheinlichkeit/verteilung bedeutet.
Mach mal vorab für obige konkrete Situation folgendes bzw. beantworte die Fragen:
1)
Was ist [mm]X_n(0), X_n(1/4), X_n(1)[/mm] ?
Was [mm]X(0), X(1/4), X(1)[/mm]?
2) Gilt [mm]X_n\to X[/mm] fast sicher?
3) Berechne [mm]E(X), E(X_n)[/mm].
4) Berechne [mm]\integral_{[\alpha,\beta]}X_ndP[/mm] für [mm]0\le\alpha\le\beta\le1)[/mm].
5) Wie lauten die Verteilungsfunktionen von [mm]X[/mm] und [mm]X_n[/mm]?
6) Berechne [mm]P(\{X_n=0\}), P(\{X_n\le 1/2\}), P(\{X_n=1\}), P(\{X_n\ge 2\})[/mm]
Dann
A) Wie ist Konvergenz in Verteilung definiert?
B) Setzt obige Sitution in die Definition ein und prüfe.
C) Wie ist Konvergenz in Wahrscheinlichkeit definiert?
D) Setzt obige Sitution in die Definition ein und prüfe.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Mi 21.07.2010 | | Autor: | mau |
Danke für deine antwort
in der aufgabe müsste das [0, 1/2+1/n] und [1/4, 3/4]sein habs verbessert
Also ist das denn soweit richtig?
1. [mm] X_n(0)=1, X_n(\frac{1}{4})=0 [/mm] für n>2 und [mm] X_n(\frac{1}{4})=0 [/mm] für n=1,2
[mm] X_n(1)=0 [/mm] für n>1 und [mm] X_n(1)=1 [/mm] für n=1
X(0)=0, [mm] X(\frac{1}{4})=1,X(1)=0
[/mm]
2. Anschaulich ist mir klar das [mm] X_n [/mm] nicht fast sicher gegen X konvergiert
da [mm] X_n [/mm] auf zb (1/2,3/4) nicht gegen X konvergiert, und dies keine Nullmenge bezüglich [mm] \IP
[/mm]
3. ich komme auf E(X)=1/2 und [mm] E(X_n)=1/2+1/n
[/mm]
5. Verteilungsfunktion für X
[mm] F(x)=\begin{cases} 0,5, & \mbox{für } \mbox{ x<1} \\ 1, & \mbox{für } \mbox{ x=1} \end{cases}
[/mm]
für [mm] X_n
[/mm]
[mm] F(x)=\begin{cases} 1/2-1/n, & \mbox{für } \mbox{ x<1} \\ 1, & \mbox{für } \mbox{ x=1} \end{cases}
[/mm]
6. [mm] P(\{X_n=0\})=1/2-1/n [/mm] , [mm] P(\{X_n\le 1/2\})=1/2-1/n [/mm] ,
[mm] P(\{X_n=1\})=1/2+1/n [/mm] , [mm] P(\{X_n\ge 2\})=0
[/mm]
A:
[mm] X_n [/mm] konvergiert nach Verteilung gegen X falls für jede beschränkte stetige Funktion f
[mm] E(f(X_n)) \to [/mm] E(f(X))
[mm] E(f(\chi_{[0,\frac{1}{2}+\frac{1}{n}]})=E(f(1)*\chi_{[0,\frac{1}{2}+\frac{1}{n}]}+f(0)*\chi_{(\frac{1}{2}+\frac{1}{n},1]})
[/mm]
[mm] =E(f(1)*\chi_{[0,\frac{1}{2}+\frac{1}{n}]})+E(f(0)*\chi_{(\frac{1}{2}+\frac{1}{n},1]})=f(1)*(1/2+1/n)+f(0)*(1/2-1/n)
[/mm]
[mm] \to [/mm] (1/2)*(f(1)+f(0)) für n [mm] \to \infty
[/mm]
Und da
[mm] E(f(\chi_{\frac{1}{4},\frac{3}{4}]})=(f(1)+f(0))*(1/2)
[/mm]
gilt die konvergenz in Verteilung
C:
[mm] P(|X_n-X|>\varepsilon) \to [/mm] 0 für [mm] n\to \infty
[/mm]
[mm] P(|\chi_{[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}-\chi_{[0,\frac{1}{2}+\frac{1}{n}]}|>\varepsilon)
[/mm]
[mm] =P(|\chi_{[0,\frac{1}{4}]}-\chi_{[\frac{1}{2}+\frac{1}{n},\frac{3}{4}]}|>\varepsilon)=
[/mm]
[mm] =P(|\chi_{[0,\frac{1}{4}]}-\chi_{[\frac{1}{2}+\frac{1}{n},\frac{3}{4}]}|=1)=1/2-1/n \to [/mm] 1/2 für n [mm] \to \infty
[/mm]
Damit keine Konvergenz in Wahrscheinlichkeit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Do 22.07.2010 | | Autor: | gfm |
> 1. [mm]X_n(0)=1, X_n(\frac{1}{4})=0[/mm] für n>2 und
> [mm]X_n(\frac{1}{4})=0[/mm] für n=1,2
[mm] X_n(1/4)=1_{[0,1/2+1/n]}(1/4)=1, [/mm] da immer [mm] 1/4\in[0,1/2+1/n]
[/mm]
> [mm]X_n(1)=0[/mm] für n>1 und [mm]X_n(1)=1[/mm] für n=1
[mm] X_n(1)=1_{[0,1/2+1/n]}(1)=1 [/mm] für n=1,2 da immer [mm] 1\in[0,1/2+1/1]=[0,1.5] [/mm] und [mm] 1\in[0,1/2+1/2]=[0,1]
[/mm]
> X(0)=0, [mm]X(\frac{1}{4})=1,X(1)=0[/mm]
Paßt.
> 2. Anschaulich ist mir klar das [mm]X_n[/mm] nicht fast sicher gegen
> X konvergiert
Wieso nur anschaulich?
[mm] X_n\to [/mm] X [mm] f.s.:\gdw P(\{X_n\to X\})=1
[/mm]
[mm] \{X_n\to X\}=\{\omega\in[0,1]:1_{[0,1/2+1/n]}(\omega)\to1_{[1/4,3/4]}(\omega)\}=\{\omega\in[0,1]:1_{[0,1/2+1/n]}(\omega)-1_{[1/4,3/4]}(\omega)\to 0\}
[/mm]
[mm] =\{\omega\in[0,1]:1_{[0,1/2]}(\omega)+1_{(1/2,1/2+1/n]}(\omega)-1_{[1/4,1/2]}(\omega)-1_{(1/2,3/4]}(\omega)\to 0\}=\{\omega\in[0,1]:1_{[0,1/4)}(\omega)-1_{(1/2+1/n,3/4]}(\omega)\to 0\} [/mm] (für [mm] n\ge [/mm] 4)
An der letzten Menge sieht man, dass die Differenz 1 auf [0,1/4), 0 auf [1/4,1/2] und -1 auf (1/2+1/n,3/4] ist. Konvergenz liegt also nur auf [1/4,1/2] vor. Damit ist die Bedingung für "f.s." nicht erfüllt.
Im übrigen hast Du diese Umformen weiter unten beim Test auf Konv. in Wahrsch. auch gemacht.
>
> 3. ich komme auf E(X)=1/2 und [mm]E(X_n)=1/2+1/n[/mm]
Paßt.
>
> 5. Verteilungsfunktion für X
> [mm]F(x)=\begin{cases} 0,5, & \mbox{für } \mbox{ x<1} \\ 1, & \mbox{für } \mbox{ x=1} \end{cases}[/mm]
Nicht ganz. Versuchs mal durch einsetzen in [mm] F_X(t):=\integral_\Omega1_{(-\infty,t]}(X)dP [/mm] oder durch einen neuen "educated guess". Die ZV hat genau zwei diskrete Werte 0 und 1. An diesen Stellen muss die Verteilungsfunktion rechtsstetig springen mit einer Sprunghöhe gleich der Wahrscheinlichkeit für diesen Wert.
>
> für [mm]X_n[/mm]
> [mm]F(x)=\begin{cases} 1/2-1/n, & \mbox{für } \mbox{ x<1} \\ 1, & \mbox{für } \mbox{ x=1} \end{cases}[/mm]
Nicht ganz. Beachte auch den Spezialfall n=1 oder schließ ihn explizit aus.
>
> 6. [mm]P(\{X_n=0\})=1/2-1/n[/mm] , [mm]P(\{X_n\le 1/2\})=1/2-1/n[/mm] ,
> [mm]P(\{X_n=1\})=1/2+1/n[/mm] , [mm]P(\{X_n\ge 2\})=0[/mm]
Paßt.
>
> A:
> [mm]X_n[/mm] konvergiert nach Verteilung gegen X falls für jede
> beschränkte stetige Funktion f
>
> [mm]E(f(X_n)) \to[/mm] E(f(X))
>
> [mm]E(f(\chi_{[0,\frac{1}{2}+\frac{1}{n}]})=E(f(1)*\chi_{[0,\frac{1}{2}+\frac{1}{n}]}+f(0)*\chi_{(\frac{1}{2}+\frac{1}{n},1]})[/mm]
>
> [mm]=E(f(1)*\chi_{[0,\frac{1}{2}+\frac{1}{n}]})+E(f(0)*\chi_{(\frac{1}{2}+\frac{1}{n},1]})=f(1)*(1/2+1/n)+f(0)*(1/2-1/n)[/mm]
> [mm]\to[/mm] (1/2)*(f(1)+f(0)) für n [mm]\to \infty[/mm]
> Und da
> [mm]E(f(\chi_{\frac{1}{4},\frac{3}{4}]})=(f(1)+f(0))*(1/2)[/mm]
> gilt die konvergenz in Verteilung
Paßt.
>
>
> C:
> [mm]P(|X_n-X|>\varepsilon) \to[/mm] 0 für [mm]n\to \infty[/mm]
>
> [mm]P(|\chi_{[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}-\chi_{[0,\frac{1}{2}+\frac{1}{n}]}|>\varepsilon)[/mm]
>
> [mm]=P(|\chi_{[0,\frac{1}{4}]}-\chi_{[\frac{1}{2}+\frac{1}{n},\frac{3}{4}]}|>\varepsilon)=[/mm]
>
> [mm]=P(|\chi_{[0,\frac{1}{4}]}-\chi_{[\frac{1}{2}+\frac{1}{n},\frac{3}{4}]}|=1)=1/2-1/n \to[/mm]
> 1/2 für n [mm]\to \infty[/mm]
> Damit keine Konvergenz in
> Wahrscheinlichkeit
Paßt.
Wo war jetzt das Problem? War doch ok.
LG
gfm
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