Konvergenz komplexe ZF < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Di 06.12.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallo alle zusammen!
Ich brauch mal einen Anstoß, wie ich an folgende Beweise herangehen soll:
Sei [mm] (z_{n}) [/mm] eine Folge komplexer Zahlen [mm] z_{n}=x_{n}+i*y_{n} [/mm] und z=x+i*y [mm] \in \IC. [/mm] Beweisen Sie:
a) [mm] z_{n} \to [/mm] z [mm] \gdw x_{n} \to [/mm] x und [mm] y_{n} \to [/mm] y
b) [mm] z_{n} \to [/mm] z [mm] \Rightarrow [/mm] | [mm] z_{n} [/mm] | [mm] \to [/mm] | z |
c) | [mm] z_{n} [/mm] | [mm] \to [/mm] 0 [mm] \gdw z_{n} \to [/mm] 0
Also ich weiß, was die Aussagen im einzelnen bedeuten, und dass ich bei a) und c) jeweils zwei Richtungen beweisen muss. Aber ich hab echt keine Ahnung, wie ich da ran gehen soll. Hab auch in sämtlichen Büchern nichts dazu gefunden. Könnt ihr mir auf die Sprünge helfen?
liebe Grüße
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Hallo Franzie,
ich glaube, du musst dir erst noch einmal klarmachen, wie konvergenz für komplexe folgen definiert ist. Wenn du das getan hast, wird sich beispielsweise aufgabe c) von alleine erledigen.
b) solltest du wohl unter anwendung von a) recht leicht beweisen können.
(hier brauchst du eine formel für den betrag, oder das quadrat des betrages!)
und bei a) geht eine richtung über die dreiecks-ungleichung.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Franzie |
Also danke erstmal für die Tipps. Hab jetzt soweit wie möglich versucht, die Beweise hinzubekommen. Hoffentlich ist was Brauchbares dabei.
Im Fall a) [mm] z_{n} \to [/mm] z [mm] \gdw x_{n} \to [/mm] x und [mm] y_{n} \to [/mm] y hab ich mir Folgendes überlegt:
Hinrichtung: sei [mm] (z_{n}) [/mm] eine komplexe Zahlenfolge und konvergent gegen z. Im Falle der Konvergenz gilt lim [mm] z_{n}=lim(Re(z))+i*lim(Im(z)). [/mm] Da [mm] (z_{n}) [/mm] konvergent ist, muss [mm] (z_{n}) [/mm] notwendig beschränkt sein. Da [mm] (z_{n}) [/mm] beschränkt ist, existiert nach dem Satz von Bolzano-W. mindestens eine konvergente Teilfolge, in diesem Fall sind diese konvergenten Teilfolgen (Re(z)) und (Im(z)).
Rückrichtung: Es seien lim [mm] x_{n}=x [/mm] und lim [mm] y_{n}=n. [/mm] Dann sind nach den Rechenregeln für Zahlenfolgen (können übernommen werden) die Folgen [mm] lim(x_{n}+i*y_{n}) [/mm] konvergent und es gelten: [mm] lim(x_{n}+i*y_{n}) [/mm] =lim [mm] x_{n}+ [/mm] lim [mm] i*y_{n}=lim [/mm] (Re(z))+lim (Im(z)), denn
| [mm] x_{n}-x [/mm] | < epsilon/2 und
| [mm] i*y_{n}-y [/mm] | < epsilon/2 , es sei epsilon >0, dann folgt daraus
| [mm] x_{n}+ i*y_{n}-(x+y) [/mm] | [mm] \le [/mm] | [mm] x_{n}-x [/mm] | +| [mm] i*y_{n}-y [/mm] | < epsilon
für c) | [mm] z_{n} [/mm] | [mm] \to [/mm] 0 [mm] \gdw z_{n} \to [/mm] 0
Rückrichtung: das obige bedeutet doch lim (Re(z))+i*lim (Im(z))=0, also streben diese zwei Teilfolgen von [mm] (z_{n} [/mm] ) gegen 0, daher auch [mm] (z_{n} [/mm] ) selbst und also auch der Betrage von [mm] z_{n} [/mm] , da | [mm] z_{n} |=\wurzel{x_{n}^{2}+ i*y_{n}^{2}}
[/mm]
Hinrichtung: | [mm] z_{n} [/mm] | [mm] =\wurzel{x_{n}^{2}+ i*y_{n}^{2}}
[/mm]
und hier geht [mm] x_{n} [/mm] und [mm] y_{n} [/mm] gegen 0
das find ich irgendwie selbst noch ziemlich eigenartig!
für b) [mm] z_{n} \to [/mm] z [mm] \Rightarrow [/mm] | [mm] z_{n} [/mm] | [mm] \to [/mm] | z |
| z [mm] |=\wurzel{x^{2}+ i*y^{2}}
[/mm]
Wie kann ich das denn jetzt geschickt mit Teil a) verknüpfen?
Danke für die Hilfe im Voraus!
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Do 08.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Franzie
Du machst einen grundlegenden Fehler: Wenn du Konvergenz beweissen willst musst du IMMER auf die definition zurückgreifen: zn konv. gegen z , wenn es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein N gibt sodass für alle n>N gilt [mm] |z-zn|<\varepsilon.
[/mm]
und die Def von [mm] |z-zn|=\wurzel{(x-xn)^2+(y-yn)^2} [/mm] (ohne i!)
daraus musst du zeigen, dass dann folgt es gibt ein N1 und ein N2 sodass die entsprechende Aussage für |x-xn| und |y-yn| gilt! nd das in beiden Richtungen!
die zweite Richtung musst du nur genauer aufschreiben, mit den i aufpassen! wo du sie hinschreibst!
Also versuchs nochmal genauer!
> Also danke erstmal für die Tipps. Hab jetzt soweit wie
> möglich versucht, die Beweise hinzubekommen. Hoffentlich
> ist was Brauchbares dabei.
> Im Fall a) [mm]z_{n} \to[/mm] z [mm]\gdw x_{n} \to[/mm] x und [mm]y_{n} \to[/mm]
> y hab ich mir Folgendes überlegt:
> Hinrichtung: sei [mm](z_{n})[/mm] eine komplexe Zahlenfolge und
> konvergent gegen z. Im Falle der Konvergenz gilt lim
> [mm]z_{n}=lim(Re(z))+i*lim(Im(z)).[/mm] Da [mm](z_{n})[/mm] konvergent ist,
Genau das willst du ja zeigen! es ist nicht die Def. von zn konvergent!
> muss [mm](z_{n})[/mm] notwendig beschränkt sein. Da [mm](z_{n})[/mm]
> beschränkt ist, existiert nach dem Satz von Bolzano-W.
Das ist ein Satz über Mengen, nicht über Folgen!
> mindestens eine konvergente Teilfolge, in diesem Fall sind
> diese konvergenten Teilfolgen (Re(z)) und (Im(z)).
Wie kommst du da drauf, die Folge zn muss doch kein einziges Glied zn=xn+i*0 enthalten!
Die folge Re(zn) ist keine Teilfolge von zn die gegen zn konvergiert!
> Rückrichtung: Es seien lim [mm]x_{n}=x[/mm] und lim [mm]y_{n}=n.[/mm] Dann
> sind nach den Rechenregeln für Zahlenfolgen (können
> übernommen werden) die Folgen [mm]lim(x_{n}+i*y_{n})[/mm] konvergent
du kannst nicht lim.... und dazu Folge schreiben! lim xn ist eine Zahl (falls lim existiert)
> und es gelten: [mm]lim(x_{n}+i*y_{n})[/mm] =lim [mm]x_{n}+[/mm] lim
> [mm]i*y_{n}=lim[/mm] (Re(z))+lim (Im(z)), denn
| [mm]x_{n}-x[/mm] | < epsilon/2 n>N1
> | [mm]i*y_{n}-y[/mm] | < epsilon/2 , es sei epsilon >0, dann
folgt daraus fürmax( N1 , N2 )
> | [mm]x_{n}+ i*y_{n}-(x+y)[/mm] | [mm]\le[/mm] | [mm]x_{n}-x[/mm] | +|
> [mm]i*y_{n}-y[/mm] | < epsilon
ohne i !
> für c) | [mm]z_{n}[/mm] | [mm]\to[/mm] 0 [mm]\gdw z_{n} \to[/mm] 0
> Rückrichtung: das obige bedeutet doch lim (Re(z))+i*lim
> (Im(z))=0, also streben diese zwei Teilfolgen von [mm](z_{n}[/mm] )
> gegen 0, daher auch [mm](z_{n}[/mm] ) selbst und also auch der
> Betrage von [mm]z_{n}[/mm] , da | [mm]z_{n} |=\wurzel{x_{n}^{2}+ i*y_{n}^{2}}[/mm]
>
> Hinrichtung: | [mm]z_{n}[/mm] | [mm]=\wurzel{x_{n}^{2}+ i*y_{n}^{2}}[/mm]
>
> und hier geht [mm]x_{n}[/mm] und [mm]y_{n}[/mm] gegen 0
> das find ich irgendwie selbst noch ziemlich eigenartig!
>
> für b) [mm]z_{n} \to[/mm] z [mm]\Rightarrow[/mm] | [mm]z_{n}[/mm] | [mm]\to[/mm] | z |
> | z [mm]|=\wurzel{x^{2}+ i*y^{2}}[/mm]
> Wie kann ich das denn
> jetzt geschickt mit Teil a) verknüpfen?
Gruss leduart
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