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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Do 08.01.2015 | | Autor: | Palaver |
| Aufgabe | Man betrachte für a [mm] \in \IR+ [/mm] die komplexe Folge
[mm] {a_{n}} [/mm] mit [mm] z_{n} [/mm] = [mm] (\bruch{1+i}{a})^{n}
[/mm]
a) Schreiben Sie [mm] z_{1} [/mm] in Polarkoordinaten.
b) bestimmen Sie (in Abhängigkeit von a [mm] \in \IR+) [/mm] die Häufungspunkte der Folge. |
Guten Abend,
ich hab die obige Aufgabe zu lösen. Ich schreibe erst einmal auf wie weit ich gekommen bin. Es wäre toll, wenn Ihr mir etwas Feedback zu meinen Lösungsansätzen geben könntet.
Aufgabenteil a)
Hier soll ich [mm] z_{1} [/mm] = [mm] (\bruch{1+i}{a}) [/mm] in Polarform schreiben.
Zunächst habe ich mit Hilfe des Betrages einer komplexen Zahl den Faktor berechnet, der stets vor einer solchen komplexen Zahl steht. Sei eine komplexe Zahl z = a + bi:
r = [mm] \wurzel{a^{2} + b^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{(\bruch{1}{a})^{2} + (\bruch{1}{a})^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{a}
[/mm]
Weiter gilt ja:
sin t = [mm] \bruch{Gegenkathete}{Hypothenuse} [/mm] = [mm] \bruch{b}{r} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{a}}{\bruch{\wurzel{2}}{a}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] t = [mm] \bruch{\pi}{4}
[/mm]
Man erhält also für
[mm] z_{1} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{a} [/mm] * [mm] e^{i*\bruch{\pi}{4}}
[/mm]
Aufgabenteil b)
Nun muss ich die Häufungspunkte der Folge angeben.
Da hier nun [mm] z_{n} [/mm] betrachtet wird und nicht mehr [mm] z_{1}, [/mm] gilt:
[mm] z_{n} [/mm] = [mm] (\bruch{\wurzel{2}}{a})^{n} [/mm] * [mm] e^{(i*\pi*n)/4}
[/mm]
(Ich schreibe den Exponenten mal so, da Brüche sonst unleserlich werden.)
Zunächst habe ich mir überlegt, dass die Folge nur dann Häufungspunkte besitzt, falls der Bruch [mm] \bruch{\wurzel{2}}{a} [/mm] < 1 ist, also a > [mm] \wurzel{2} [/mm] gilt, da die Folge sonst ins Unendliche wachsen würde.
Weiter habe ich den zweiten Faktor [mm] e^{(i*\pi*n)/4} [/mm] betrachtet:
Betrachtet man nur den Exponenten, so gilt:
[mm] \bruch{\pi * n}{4} [/mm] + [mm] 2*\pi [/mm] = [mm] \bruch{\pi * (n+x)}{4}
[/mm]
[mm] 2*\pi [/mm] = [mm] \bruch{\pi * x}{4}
[/mm]
x = 8
Vorgestellt habe ich mir das nun so, dass ich bei
[mm] e^{(i*\pi*n)/4}
[/mm]
für n die Zahlen n = {0,1,2,3,4,5,6,7} einsetzen kann, bevor ich eine Wiederholung erhalte. Dies macht natürlich Sinn, da ich, wenn ich im Einheitskreis bei 0 starte und 8 mal einen Schritt von [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] mache, ich wieder bei 0 ankomme.
Doch wie genau kann ich nun die Häufungspunkte angeben?
Meiner Meinung nach können hier 3 Fälle auftreten:
Fall 1: a < [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Es gibt gar keine Häufungspunkte, da die Folge unbeschränkt ist
Fall 2: a = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Es gibt 8 Häufungspunkte, jeweils mit dem Radius 1 im [mm] \bruch{pi}{4} [/mm] versetzt
Fall 3: a > [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Es gibt einen Häufungspunkt, der sich genau im Ursprung der komplexen Zahlenebene befindet, da für große n der Bruch [mm] (\bruch{\wurzel{2}}{a})^{n} [/mm] gegen 0 geht.
Stimmt das so?
Ich wäre sehr erfreut, wenn Ihr mir hierbei helfen könntet :)
Liebe Grüße
Palaver
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Do 08.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Da die echten Mathematiker gerade diese Frage nicht beantworten, versuche ich es mal.
Ich finde, dass es gut aussieht. Falls Du die Eigenschaft "Häufungspunkt" beweisen musst, musst Du das noch formal durchführen. So wären das die Überlegungen, anhand derer man sich überlegt, was man beweisen will. Der Beweis ist nicht lang.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Do 08.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
du solltest die 8 HP explizit angeben und die Teilfolgen, die sie immer wieder erreichen. sonst ist alles richtig, wie ja schon chrisno sagte
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:35 Fr 09.01.2015 | | Autor: | Palaver |
Hey,
vielen Dank für die zwei schnellen und vorallem netten Antworten :)
Die genauen Häufungspunkte habe ich in meiner Aufschrift schon mit aufgeschrieben, wollte sie hier nur nicht ausführen, da ich erst einmal schauen wollte, ob die Idee so stimmt.
Die Häufungspunkte sind Punkte in der komplexen Zahlenebene mit Betrag 1 und dann immer um [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] weitergedreht, wobei der 1. HP = 1+0i ist.
Vielen Dank nochmals!
Palaver
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