Konvergenz komplexer Reihe < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie, für welche z [mm] \in \IC [/mm] die folgende Reihe konvergiert:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (3k+1)(\bruch{z}{2}-1)^{k} [/mm] |
Guten Tag,
ich habe die oben stehende Aufgabe zu erledigen, weiß jedoch nicht, wie ich da ganz genau herangehen soll, da dies die erste komplexe Reihe ist, die ich in die Finger bekomme.
Zunächst dachte ich mir, dass ich zeigen muss, dass die der Reihe zu Grunde liegende Folge [mm] a_{n} [/mm] eine Nullfolge ist.
Da der Teil (3k+1) bei [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] niemals 0, sondern nur Unendlich wird, muss also der Teil
[mm] (\bruch{z}{2}-1)^{k} [/mm]
der Teil sein, der die Folge zur Nullfolge werden lässt.
Da die Potenz k dort enthalten ist, denke ich mir, dass man nun zeigen muss, für welche z [mm] \in \IC [/mm] die Klammer kleiner als 1 wird, sodass so die Folge eine Nullfolge wird.
Somir folgt:
[mm] (\bruch{z}{2}-1) [/mm] < 1
[mm] \gdw [/mm] (z-2) < 2
Nun wende ich hierauf den Betrag an:
|z-2| < 2
Und da z eine komplexe Zahl ist folgt dann.
[mm] \wurzel{(x-2)^{2} + y^{2}} [/mm] < 2
Somit erhalte ich einen Kreis in der komplexen Zahlenebene mit dem Mittelpunkt (2,0) und dem Radius 2, aus dem ich beliebige Elemente auswählen kann, sodass [mm] (\bruch{z}{2}-1) [/mm] < 1 ist und die Folge dann eine Nullfolge ist.
Es wäre sehr nett, ob mir jemand sagen könnte, ob man das bis hierher überhaupt so machen darf.
Desweiteren muss ja jetzt sicherlich noch gezeigt werden, dass die Reihe mit diesen ausgewählten z [mm] \in \IC, [/mm] die innerhalb dieses Kreises sind, auch wirklich konvergiert. Doch wie mache ich das allgemein, ohne das nur für ein z zu zeigen?
Ich hatte in meiner Recherche etwas zu komplexen Potenzreihen gelesen, allerdings konnte ich das bisher hier noch nicht anwenden.
Ich hoffe, einer von Euch kann mir helfen.
Liebe Grüße
PeterPan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Do 04.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie, für welche z [mm]\in \IC[/mm] die folgende Reihe
> konvergiert:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (3k+1)(\bruch{z}{2}-1)^{k}[/mm]
> Guten
> Tag,
>
> ich habe die oben stehende Aufgabe zu erledigen, weiß
> jedoch nicht, wie ich da ganz genau herangehen soll, da
> dies die erste komplexe Reihe ist, die ich in die Finger
> bekomme.
>
> Zunächst dachte ich mir, dass ich zeigen muss, dass die
> der Reihe zu Grunde liegende Folge [mm]a_{n}[/mm] eine Nullfolge
> ist.
das ist aber nur eine NOTWENDIGE Bedingung für Konvergenz, die so allein
i.a. nicht hinreichend ist. Denke an [mm] $\sum 1/n\,.$
[/mm]
> Da der Teil (3k+1) bei [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] niemals
> 0, sondern nur Unendlich wird, muss also der Teil
>
> [mm](\bruch{z}{2}-1)^{k}[/mm]
>
> der Teil sein, der die Folge zur Nullfolge werden lässt.
Das könnte man schon fast so durchgehen lassen. Aber, wie gesagt,
der Ansatz ist schon "zu schwach".
> Da die Potenz k dort enthalten ist, denke ich mir, dass man
> nun zeigen muss, für welche z [mm]\in \IC[/mm] die Klammer kleiner
> als 1 wird, sodass so die Folge eine Nullfolge wird.
>
> Somir folgt:
>
> [mm](\bruch{z}{2}-1)[/mm] < 1
>
> [mm]\gdw[/mm] (z-2) < 2
>
> Nun wende ich hierauf den Betrag an:
>
> |z-2| < 2
>
> Und da z eine komplexe Zahl ist folgt dann.
> [mm]\wurzel{(x-2)^{2} + y^{2}}[/mm] < 2
>
> Somit erhalte ich einen Kreis in der komplexen Zahlenebene
> mit dem Mittelpunkt (2,0) und dem Radius 2, aus dem ich
> beliebige Elemente auswählen kann, sodass [mm](\bruch{z}{2}-1)[/mm]
> < 1 ist und die Folge dann eine Nullfolge ist.
>
> Es wäre sehr nett, ob mir jemand sagen könnte, ob man das
> bis hierher überhaupt so machen darf.
>
> Desweiteren muss ja jetzt sicherlich noch gezeigt werden,
> dass die Reihe mit diesen ausgewählten z [mm]\in \IC,[/mm] die
> innerhalb dieses Kreises sind, auch wirklich konvergiert.
> Doch wie mache ich das allgemein, ohne das nur für ein z
> zu zeigen?
> Ich hatte in meiner Recherche etwas zu komplexen
> Potenzreihen gelesen, allerdings konnte ich das bisher hier
> noch nicht anwenden.
>
> Ich hoffe, einer von Euch kann mir helfen.
Wir machen jetzt das, was man später bei Potenzreihen eh allgemeiner
machen wird:
Wende auf
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty} (3k+1)(\bruch{z}{2}-1)^{k}$
[/mm]
mal das Wurzelkriterium:
![[]](/images/popup.gif) Satz 6.17
an.
Dahingehend solltest Du Dir
[mm] $\sqrt[k]{|3k+1|}=\sqrt[k]{3k+1} \to [/mm] 1$ ($k [mm] \to \infty$)
[/mm]
klarmachen und auch
Satz 5.21
beachten.
Viele Deiner obigen Überlegungen wirst Du dann wiederfinden, aber der
Grundgedanke ist ein anderer: Es geht nicht nur darum, herauszufinden,
für welche [mm] $z\,$ [/mm] die Folge der Summanden eine Nullfolge ist oder nicht,
sondern es geht bei der Konvergenzfrage vor allem darum, dass man,
wenn man weiß, für welche [mm] $z\,$ [/mm] diese Summandenfolge eine Nullfolge ist,
auch begründen kann, dass diese *schnell genug* gegen 0 konvergiert.
Das ist so ähnlich, wie, wenn man das WK bzw. das QK etwas anders
formuliert, dass dort dann von der Existenz eines $0 [mm] \le [/mm] q < 1$ geredet wird.
P.S. Sobald Du Cauchy-Hadamard anwenden kannst, wird Dir
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty} (3k+1)(\bruch{z}{2}-1)^{k}=\summe_{k=1}^{\infty} \frac{3k+1}{2^k}(z-2)^{k}$
[/mm]
helfen! Damit kann man (mehr oder weniger schnell) ablesen:
Der Konvergenzkreis hat Mittelpunkt (2,0) bzw. $2+i0$ und auch den
Radius 1/(1/2)=2. Im Inneren dieses liegt also Kgz. vor, außerhalb des
Abschlusses dieses Kreises Divergenz. Der Rand ist separat zu
untersuchen!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
vielen Dank für deine Antwort.
Okay, durch das Wurzelkriterium erhalte ich:
Wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \wurzel[k]{|a_{k}|} [/mm] < 1 ist, konvergiert die Reihe.
Das heißt für diese explizite Reihe:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \wurzel[k]{|a_{k}|} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \wurzel[k]{|(3k+1)*(\bruch{z}{2}-1)^{k}|}
[/mm]
Wenn ich jetzt anwende, dass die [mm] \wurzel[k]{k} [/mm] = 1 dann ist [mm] \wurzel[k]{3k+1} [/mm] = 1 (Hab mir da einen Beweis zu angeschaut, warum das gilt)
Somit gilt nun: [mm] (|\bruch{z}{2}-1|) [/mm] < 1, damit die Folge konvergiert nach dem Wurzelkriterium.
Jetzt wende ich wieder genau das an, was ich in meinem ersten Post geschrieben habe, und erhalte dann den Kreis in der komplexen Ebene, für welche z die Reihe konvergiert.
Was du mit dem Satz 5.21 meinst, kann ich leider nicht sagen, beziehungsweise was das für Auswirkungen auf die Antwort hat. Also wenn du mir das vielleicht nochmal erklären könntest, wäre ich sehr froh.
Liebe Grüße
PeterPan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Do 04.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
>
> Okay, durch das Wurzelkriterium erhalte ich:
>
> Wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]\wurzel[k]{|a_{k}|}[/mm] <
> 1 ist, konvergiert die Reihe.
da gehört [mm] $\limsup$ [/mm] hin, und [mm] $n\,$ [/mm] ist durch [mm] $k\,$ [/mm] zu ersetzen! Ansonsten:
Genau, wobei Du besser [mm] $a_k$ [/mm] durch [mm] $a_k(z)$ [/mm] ersetzen würdest!
> Das heißt für diese explizite Reihe:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]\wurzel[k]{|a_{k}|}[/mm] =
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] sup
> [mm]\wurzel[k]{|(3k+1)*(\bruch{z}{2}-1)^{k}|}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt anwende, dass die [mm]\wurzel[k]{k}[/mm] = 1 dann ist
> [mm]\wurzel[k]{3k+1}[/mm] = 1 (Hab mir da einen Beweis zu
> angeschaut, warum das gilt)
Wenn Du [mm] $\sqrt[n]{a} \to [/mm] 1$ für $a > 0$ und [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$ weißt, kannst Du
das damit relativ schnell folgern!
> Somit gilt nun: [mm](|\bruch{z}{2}-1|)[/mm] < 1, damit die Folge
> konvergiert nach dem Wurzelkriterium.
>
> Jetzt wende ich wieder genau das an, was ich in meinem
> ersten Post geschrieben habe, und erhalte dann den Kreis in
> der komplexen Ebene, für welche z die Reihe konvergiert.
>
> Was du mit dem Satz 5.21 meinst, kann ich leider nicht
> sagen, beziehungsweise was das für Auswirkungen auf die
> Antwort hat. Also wenn du mir das vielleicht nochmal
> erklären könntest, wäre ich sehr froh.
Naja, im WK steht etwas (für obige Version angepasst) von [mm] $\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n(z)}\,.$ [/mm] Oben hast
Du "sogar"
[mm] $\lim_{n \to \infty} [/mm] ...$
ausgerechnet. Und wenn [mm] $\lim...$ [/mm] existiert, dann auch [mm] $\limsup...$ [/mm] mit [mm] $\lim...=\limsup...$. [/mm] Sowas
steht in Satz 5.21.
Gruß,
Marcel
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Hey Marcel,
aber ansonsten ist der Lösungsweg so okay?
Grüße
Peter Pan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Do 04.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hey,
> Hey Marcel,
>
> aber ansonsten ist der Lösungsweg so okay?
ich guck's mir gerade nochmal detaillierter an, aber oberflächlich sah das
korrekt aus.
Gruß,
marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Do 04.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
>
> Okay, durch das Wurzelkriterium erhalte ich:
>
> Wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]\wurzel[k]{|a_{k}|}[/mm] <
> 1 ist, konvergiert die Reihe.
>
> Das heißt für diese explizite Reihe:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]\wurzel[k]{|a_{k}|}[/mm] =
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] sup
> [mm]\wurzel[k]{|(3k+1)*(\bruch{z}{2}-1)^{k}|}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt anwende, dass die [mm]\wurzel[k]{k}[/mm] = 1 dann ist
> [mm]\wurzel[k]{3k+1}[/mm] = 1 (Hab mir da einen Beweis zu
> angeschaut, warum das gilt)
>
> Somit gilt nun: [mm](|\bruch{z}{2}-1|)[/mm] < 1, damit die Folge
Du meinst die Reihe (was natürlich die Folge ihrer Teilsummen ist).
> konvergiert nach dem Wurzelkriterium.
Genau: Für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|z-2| < 2$ konvergiert die Reihe. Was Du noch nicht
gesagt hast: Für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|z-2| > 2$ divergiert sie.
Und auf [mm] $\{z \in \IC \mid |z-2|=2\}$ [/mm] müssen wir uns noch genauer angucken,
was da los ist. (edit: Quatsch korrigiert: Für [mm] $z=0\,$ [/mm] und für [mm] $z=4\,$ [/mm] divergiert
die Reihe. Denn das Trivialkriterium (Folge der Summanden ist Nullfolge) ist
dann verletzt!)
> Jetzt wende ich wieder genau das an, was ich in meinem
> ersten Post geschrieben habe, und erhalte dann den Kreis in
> der komplexen Ebene, für welche z die Reihe konvergiert.
>
> Was du mit dem Satz 5.21 meinst, kann ich leider nicht
> sagen, beziehungsweise was das für Auswirkungen auf die
> Antwort hat. Also wenn du mir das vielleicht nochmal
> erklären könntest, wäre ich sehr froh.
Damit ist nun alles klar - bis auf das Randverhalten. Da musst Du eventuell
auch mal nachfragen, ob das mituntersucht werden muss, oder ob da nicht
erwartet wird, dass ihr dazu auch noch was sagt....
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:26 Fr 05.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Hallo Marcel,
> >
> > vielen Dank für deine Antwort.
> >
> > Okay, durch das Wurzelkriterium erhalte ich:
> >
> > Wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]\wurzel[k]{|a_{k}|}[/mm] <
> > 1 ist, konvergiert die Reihe.
> >
> > Das heißt für diese explizite Reihe:
> >
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]\wurzel[k]{|a_{k}|}[/mm] =
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] sup
> > [mm]\wurzel[k]{|(3k+1)*(\bruch{z}{2}-1)^{k}|}[/mm]
> >
> > Wenn ich jetzt anwende, dass die [mm]\wurzel[k]{k}[/mm] = 1 dann ist
> > [mm]\wurzel[k]{3k+1}[/mm] = 1 (Hab mir da einen Beweis zu
> > angeschaut, warum das gilt)
> >
> > Somit gilt nun: [mm](|\bruch{z}{2}-1|)[/mm] < 1, damit die Folge
>
> Du meinst die Reihe (was natürlich die Folge ihrer
> Teilsummen ist).
>
> > konvergiert nach dem Wurzelkriterium.
>
> Genau: Für alle [mm]z \in \IC[/mm] mit [mm]|z-2| < 2[/mm] konvergiert die
> Reihe. Was Du noch nicht
> gesagt hast: Für alle [mm]z \in \IC[/mm] mit [mm]|z-2| > 2[/mm] divergiert
> sie.
>
> Und auf [mm]\{z \in \IC \mid |z-2|=2\}[/mm] müssen wir uns noch
> genauer angucken,
> was da los ist. (edit: Quatsch korrigiert: Für [mm]z=0\,[/mm] und
> für [mm]z=4\,[/mm] divergiert
> die Reihe. Denn das Trivialkriterium (Folge der Summanden
> ist Nullfolge) ist
> dann verletzt!)
>
> > Jetzt wende ich wieder genau das an, was ich in meinem
> > ersten Post geschrieben habe, und erhalte dann den Kreis in
> > der komplexen Ebene, für welche z die Reihe konvergiert.
> >
> > Was du mit dem Satz 5.21 meinst, kann ich leider nicht
> > sagen, beziehungsweise was das für Auswirkungen auf die
> > Antwort hat. Also wenn du mir das vielleicht nochmal
> > erklären könntest, wäre ich sehr froh.
>
> Damit ist nun alles klar - bis auf das Randverhalten. Da
> musst Du eventuell
> auch mal nachfragen, ob das mituntersucht werden muss,
> oder ob da nicht
> erwartet wird, dass ihr dazu auch noch was sagt....
Hallo Marcel,
aus der Aufgabenstellung geht klar hervor, dass das Randverhalten der Potenzreihe
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \frac{3k+1}{2^k}(z-2)^{k} [/mm] $
auch untersucht werden soll.
Wenn man sich $| [mm] \frac{3k+1}{2^k}(z-2)^{k}|$ [/mm] für $|z-2|=2$ anschaut, sollte man sofort sehen, was los ist.
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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Hallo Fred,
auch Dir danke ich sehr für deine Antwort.
Was ich leider nicht ganz verstehe ist, wieso du die Reihe aus der Aufgabe leicht veränderst, von
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (3k+1)(\bruch{z}{2}-1)^{k}
[/mm]
zu
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{3k+1}{2^{k}})(\bruch{z}{2}-1)^{k}.
[/mm]
Muss man, um zu untersuchen, wie sich die Reihe an den Randbereichen verhält, diese leicht modifizieren? Denn sowas hatte ich bisher nur beim Zusammenspiel von Verdichtungsatz und [mm] n^{-\alpha}-Reihen [/mm] gesehen?
Grüße
PeterPan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Fr 05.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> auch Dir danke ich sehr für deine Antwort.
>
> Was ich leider nicht ganz verstehe ist, wieso du die Reihe
> aus der Aufgabe leicht veränderst, von
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (3k+1)(\bruch{z}{2}-1)^{k}[/mm]
>
> zu
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{3k+1}{2^{k}})(\bruch{z}{2}-1)^{k}.[/mm]
Das habe ich nicht, sondern zu
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \frac{3k+1}{2^k}(z-2)^{k} [/mm] $
Es ist [mm] \bruch{z}{2}-1=\bruch{1}{2}(z-2)
[/mm]
>
> Muss man, um zu untersuchen, wie sich die Reihe an den
> Randbereichen verhält, diese leicht modifizieren?
Man muss nicht, aber man kann.
FRED
> Denn
> sowas hatte ich bisher nur beim Zusammenspiel von
> Verdichtungsatz und [mm]n^{-\alpha}-Reihen[/mm] gesehen?
>
> Grüße
>
> PeterPan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Do 04.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
mir ist auch gerade eine Idee gekommen, folgenden Satz zu formulieren (den
könnte man dann auf Deine Potenzreihe nach einer Substitution anwenden),
den man sicher auch noch *ausbauen* (verallgemeinert formulieren) kann:
Es sei
[mm] $\sum_{k=0}^\infty r_k (z-z_0)^k$
[/mm]
eine formale Potenzreihe. Weiter existiere
[mm] $\lim_{k \to \infty}\sqrt[k]{|r_k|} [/mm] > 0$
und es gelte zudem durchweg [mm] $\sqrt[k]{|r_k|} \ge \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|r_n|}\,.$
[/mm]
Dann divergiert die Potenzreihe
[mm] $\sum_{k=0}^\infty r_k (z-z_0)^k$
[/mm]
auf dem Rand ihres Konvergenzkreises.
Beweis: Unter Beachtung, dass für die betrachteten [mm] $z\,$ [/mm] gilt
[mm] $|z-z_0|=\frac{1}{\lim_{k \to \infty}\sqrt[k]{r_k}}\,,$
[/mm]
folgt für jedes [mm] $k\,$
[/mm]
[mm] $|r_k(z-z_0)^k|=(\sqrt[k]{|r_k|}*|z-z_0|)^k$ $\ge$ $(\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|r_n|}*|z-z_0|)^k=1^k=1\,.$
[/mm]
Daher ist für diese [mm] $z\,$
[/mm]
[mm] $\sum_{k=0}^\infty r_k(z-z_0)^k$
[/mm]
divergent, weil [mm] $|r_k(z-z_0)^k| \not\to 0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:27 Fr 05.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> mir ist auch gerade eine Idee gekommen, folgenden Satz zu
> formulieren (den
> könnte man dann auf Deine Potenzreihe nach einer
> Substitution anwenden),
> den man sicher auch noch *ausbauen* (verallgemeinert
> formulieren) kann:
> Es sei
>
> [mm]\sum_{k=0}^\infty r_k (z-z_0)^k[/mm]
>
> eine formale Potenzreihe. Weiter existiere
>
> [mm]\lim_{k \to \infty}\sqrt[k]{|r_k|} > 0[/mm]
>
> und es gelte zudem durchweg [mm]\sqrt[k]{|r_k|} \ge \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|r_n|}\,.[/mm]
>
> Dann divergiert die Potenzreihe
>
> [mm]\sum_{k=0}^\infty r_k (z-z_0)^k[/mm]
>
> auf dem Rand ihres Konvergenzkreises.
>
> Beweis: Unter Beachtung, dass für die betrachteten [mm]z\,[/mm]
> gilt
>
> [mm]|z-z_0|=\frac{1}{\lim_{k \to \infty}\sqrt[k]{r_k}}\,,[/mm]
>
> folgt für jedes [mm]k\,[/mm]
>
> [mm]|r_k(z-z_0)^k|=(\sqrt[k]{|r_k|}*|z-z_0|)^k[/mm] [mm]\ge[/mm] [mm](\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|r_n|}*|z-z_0|)^k=1^k=1\,.[/mm]
>
> Daher ist für diese [mm]z\,[/mm]
>
> [mm]\sum_{k=0}^\infty r_k(z-z_0)^k[/mm]
>
> divergent, weil [mm]|r_k(z-z_0)^k| \not\to 0\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo Marcel,
Respekt, schöne Idee !
Gruß FRED
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Hallo Marcel,
wow, vielen Dank, dass du dich so ausgiebig mit der Aufgabe beschäftigst!
Ich versuche momentan deinen geschriebenen Satz zu verstehen, doch scheitere leider daran, diesen auf meine Reihe zu übertragen, zumal wir Potenzreihen bisher noch nicht behandelt haben (zumindest waren sie mir vor meiner Recherche zu dieser Aufgabe noch nicht bekannt.
Ich zeige mal, wie weit ich komme:
> Es sei
>
> [mm]\sum_{k=0}^\infty r_k (z-z_0)^k[/mm]
>
> eine formale Potenzreihe.
Die Potenzreihe meiner Aufgabe kann ich, substituiert, wie du schon meintest, hier einsetzen:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (3k+1)(\bruch{z}{2}-1)^{k}
[/mm]
wobei (3k+1) dem [mm] r_{k} [/mm] entspricht und [mm] (\bruch{z}{2}-1)^{k} [/mm] dem [mm] (z-z_{0})^{k}
[/mm]
> Weiter existiere
>
> [mm]\lim_{k \to \infty}\sqrt[k]{|r_k|} > 0[/mm]
>
> und es gelte zudem durchweg [mm]\sqrt[k]{|r_k|} \ge \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|r_n|}\,.[/mm]
>
> Dann divergiert die Potenzreihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (3k+1)(\bruch{z}{2}-1)^{k}
[/mm]
> auf dem Rand ihres Konvergenzkreises.
>
> Beweis: Unter Beachtung, dass für die betrachteten [mm]z\,[/mm]
> gilt
>
> [mm]|z-z_0|=\frac{1}{\lim_{k \to \infty}\sqrt[k]{r_k}}\,,[/mm]
>
> folgt für jedes [mm]k\,[/mm]
>
> [mm]|r_k(z-z_0)^k|=(\sqrt[k]{|r_k|}*|z-z_0|)^k[/mm] [mm]\ge[/mm] [mm](\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|r_n|}*|z-z_0|)^k=1^k=1\,.[/mm]
Hier bin ich mir nicht ganz sicher, wie ich vorgehen soll. Ich ersetze erstmal so, wie ich es verstehe:
[mm] |(3k+1)(\bruch{z}{2}-1)^{k}| [/mm] = [mm] (\wurzel[k]{|(3k+1)|}*|\bruch{z}{2}-1|)^{k} \ge (\limes_{k\rightarrow\infty} (\wurzel[k]{|(3k+1)|}*|\bruch{z}{2}-1|))^{k}
[/mm]
An exakt den Punkten, wo ich mich am Rand des Kreises befinde, gilt:
[mm] |(\bruch{z}{2} [/mm] - 1)| = 0
sodass folgt
[mm] (\limes_{k\rightarrow\infty} (\wurzel[k]{|(3k+1)|}*|\bruch{z}{2}-1|))^{k} [/mm] = [mm] 1^{k} [/mm] = 1
> Daher ist für diese [mm]z\,[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (3k+1)(\bruch{z}{2}-1)^{k}
[/mm]
> divergent, weil
[mm] |(3k+1)(\bruch{z}{2}-1)^{k}| \not\to [/mm] 0.
> Gruß,
> Marcel
Vielen Dank nochmal und liebe Grüße
PeterPan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> wow, vielen Dank, dass du dich so ausgiebig mit der Aufgabe
> beschäftigst!
> Ich versuche momentan deinen geschriebenen Satz zu
> verstehen, doch scheitere leider daran, diesen auf meine
> Reihe zu übertragen, zumal wir Potenzreihen bisher noch
> nicht behandelt haben (zumindest waren sie mir vor meiner
> Recherche zu dieser Aufgabe noch nicht bekannt.
>
> Ich zeige mal, wie weit ich komme:
>
> > Es sei
> >
> > [mm]\sum_{k=0}^\infty r_k (z-z_0)^k[/mm]
> >
> > eine formale Potenzreihe.
>
> Die Potenzreihe meiner Aufgabe kann ich, substituiert, wie
> du schon meintest, hier einsetzen:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (3k+1)(\bruch{z}{2}-1)^{k}[/mm]
>
> wobei (3k+1) dem [mm]r_{k}[/mm] entspricht und [mm](\bruch{z}{2}-1)^{k}[/mm]
> dem [mm](z-z_{0})^{k}[/mm]
achte ein wenig auf die Bezeichnungen. So, wie Du es jetzt formulierst,
würdest Du bei späterem Lesen vielleicht [mm] $z=z/2\,$ [/mm] denken wollen - was nur
für [mm] $z=0\,$ [/mm] ginge. Du meinst aber, dass [mm] $\tilde{z}=z/2$ [/mm] substituiert wird (oder
nimm' irgendeine andere Bezeichnung für [mm] $\tilde{z}$, [/mm] die noch frei ist).
> > Weiter existiere
> >
> > [mm]\lim_{k \to \infty}\sqrt[k]{|r_k|} > 0[/mm]
> >
> > und es gelte zudem durchweg [mm]\sqrt[k]{|r_k|} \ge \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|r_n|}\,.[/mm]
>
> >
> > Dann divergiert die Potenzreihe
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (3k+1)(\bruch{z}{2}-1)^{k}[/mm]
>
>
> > auf dem Rand ihres Konvergenzkreises.
> >
> > Beweis: Unter Beachtung, dass für die betrachteten [mm]z\,[/mm]
> > gilt
> >
> > [mm]|z-z_0|=\frac{1}{\lim_{k \to \infty}\sqrt[k]{r_k}}\,,[/mm]
> >
> > folgt für jedes [mm]k\,[/mm]
> >
> > [mm]|r_k(z-z_0)^k|=(\sqrt[k]{|r_k|}*|z-z_0|)^k[/mm] [mm]\ge[/mm] [mm](\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|r_n|}*|z-z_0|)^k=1^k=1\,.[/mm]
>
> Hier bin ich mir nicht ganz sicher, wie ich vorgehen soll.
> Ich ersetze erstmal so, wie ich es verstehe:
>
> [mm]|(3k+1)(\bruch{z}{2}-1)^{k}|[/mm] =
> [mm](\wurzel[k]{|(3k+1)|}*|\bruch{z}{2}-1|)^{k} \ge (\limes_{k\rightarrow\infty} (\wurzel[k]{|(3k+1)|}*|\bruch{z}{2}-1|))^{k}[/mm]
>
> An exakt den Punkten, wo ich mich am Rand des Kreises
> befinde, gilt:
>
> [mm]|(\bruch{z}{2}[/mm] - 1)| = 0
Nein, denn diese Bedingung ist doch nichts anderes als
[mm] $\frac{z}{2}-1=0\,,$
[/mm]
und damit ist $z=...$?
> sodass folgt
>
> [mm](\limes_{k\rightarrow\infty} (\wurzel[k]{|(3k+1)|}*|\bruch{z}{2}-1|))^{k}[/mm]
> = [mm]1^{k}[/mm] = 1
>
>
> > Daher ist für diese [mm]z\,[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (3k+1)(\bruch{z}{2}-1)^{k}[/mm]
>
> > divergent, weil
>
> [mm]|(3k+1)(\bruch{z}{2}-1)^{k}| \not\to[/mm] 0.
>
>
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Vielen Dank nochmal und liebe Grüße
>
> PeterPan
Zur Anwendung des Satzes: Du hast die Potenzreihe
[mm] $\sum_{k=1}^\infty r_k (\tilde{z}-1)^k$
[/mm]
in [mm] $\tilde{z}$ [/mm] mit
[mm] $r_k=3k+1\,.$
[/mm]
Die Voraussetzungen meines Satzes sind erfüllt, da
$1 [mm] \leftarrow \sqrt [k]{|r_k|}=\sqrt[k]{3k+1} \ge 1\,,$
die Ungleichung gilt für alle $k\,.$
Also divergiert
$\sum_{k=1}^\infty r_k (\tilde{z}-1)^k$
auf dem "Rand des Konvergenzkreises bzgl. $\tilde{z}$", und damit auch auf
dem "Rand des Konvergenzkreises bzgl. $z\,.$".
Das Witzige ist, dass der Satz auf
$\sum_{k=1}^\infty \frac{r_k}{2^k}(z-2)^k$
nicht angewendet werden kann - dort sind nämlich die Voraussetzungen
zur Anwendung dieses Satzes nicht erfüllt!
(Nur, falls Du Dich wunderst, warum ich den Satz auf die Potenzreihe in
der substituierten Variablen anwende!)
Gruß,
Marcel
[/mm]
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Hallo,
ich hätte dann doch noch eine Frage zu deinem Satz
Du schreibst:
...
> folgt für jedes [mm]k\,[/mm]
>
> [mm]|r_k(z-z_0)^k|=(\sqrt[k]{|r_k|}*|z-z_0|)^k[/mm] [mm]\ge[/mm] [mm](\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|r_n|}*|z-z_0|)^k=1^k=1\,.[/mm]
Wie genau berechnest du den letzten Schritt?
Also dass gilt:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{k} [/mm] = 1
habe ich mir ja bereits klar gemacht, doch was passiert mit [mm] (z-z_{0})?
[/mm]
Man könnte hier ja nun Punkte des Randes meines Kreises einsetzen, aber wieso kommt da dann 1 heraus, sodass dann
[mm] 1^{k} [/mm] = 1
folgt?
Weiter ist die Reihe doch dann divergent, weil das Kriterium, dass einer konvergenten Reihe eine Nullfolge zugrunde liegt, hier verletzt ist, richtig?
Ich hoffe, Du kannst mir noch ein weiteres mal helfen.
Beste Grüße
PeterPan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich hätte dann doch noch eine Frage zu deinem Satz
>
> Du schreibst:
>
> ...
>
> > folgt für jedes [mm]k\,[/mm]
> >
> > [mm]|r_k(z-z_0)^k|=(\sqrt[k]{|r_k|}*|z-z_0|)^k[/mm] [mm]\ge[/mm] [mm](\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|r_n|}*|z-z_0|)^k=1^k=1\,.[/mm]
>
> Wie genau berechnest du den letzten Schritt?
>
> Also dass gilt:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{k}[/mm] = 1
>
> habe ich mir ja bereits klar gemacht, doch was passiert mit
> [mm](z-z_{0})?[/mm]
>
> Man könnte hier ja nun Punkte des Randes meines Kreises
> einsetzen, aber wieso kommt da dann 1 heraus, sodass dann
>
> [mm]1^{k}[/mm] = 1
>
> folgt?
>
> Weiter ist die Reihe doch dann divergent, weil das
> Kriterium, dass einer konvergenten Reihe eine Nullfolge
> zugrunde liegt, hier verletzt ist, richtig?
>
> Ich hoffe, Du kannst mir noch ein weiteres mal helfen.
ich mach's mir gerade einfach, denn ich habe das Ganze mal als pdf
zusammengeschrieben - ich hänge die Datei an. Falls dann dennoch
etwas unklar bleibt, frag' einfach weiter nach. Aber vielleicht klärt sich
das ja durch den kleinen Zusammenschrieb.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") PDF-Datei
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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