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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Fr 04.11.2011 | | Autor: | nobodon |
| Aufgabe | | Beweise, dass eine Folge zn aus C mit n∈ℕ konvergiert, genau dann wenn Re(zn) und Im(zn) konvergieren. |
Hey Leute,
Nun ja es geht hier wohl um "=>"- und "<="-Richtungen.
"=>"
gegeben: zn konvergiert
zu zeigen: Re(zn) und Im(zn) konvergieren
Beweis:
Es gibt also einen Grenzwert.
zn konvergiert gegen zo.
zn lässt sich als Re(zn) + Im(zn) =zn darstellen.
Also Re(zn) + Im(zn) konvergiert gegen zo.
Und mit der Grenzwertrechenregel: an+bn→a+b.
Dann würde ich a + b als neue Zahl zo auffassen: an+bn→a+b=zo.
Dann Re(zn)+Im(zn)→zo. Daraus würde folgen, dass der Realteil und Imaginärteil von z konvergiert.
// Meine Frage ist eben, ob das alles so richtig ist, oder hab ich nicht mehr oder weniger den Rückwärtsbeweis falsch rum aufgeschrieben (also einfach alles rückwärts lesen xD). Ich habe bedenken, dass ich die Cauchy Folgen Definition einbeziehen muss.
Ich bin für Hilfe äußerst dankbar
mit freundlichen Gruß
nobodon
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Hallo nobodon,
> Beweise, dass eine Folge zn aus C mit n∈ℕ konvergiert,
> genau dann wenn Re(zn) und Im(zn) konvergieren.
> Hey Leute,
>
>
> Nun ja es geht hier wohl um "=>"- und "<="-Richtungen.
Jo, das ist wohl so 
>
> "=>"
> gegeben: zn konvergiert
> zu zeigen: Re(zn) und Im(zn) konvergieren
>
> Beweis:
> Es gibt also einen Grenzwert.
hmm, schwammig ...
> zn konvergiert gegen zo.
ok
> zn lässt sich als Re(zn) + Im(zn) =zn darstellen.
ok
> Also Re(zn) + Im(zn) konvergiert gegen zo.
Warum? Das sollst du zeigen ...
> Und mit der Grenzwertrechenregel: an+bn→a+b.
> Dann würde ich a + b als neue Zahl zo auffassen:
> an+bn→a+b=zo.
> Dann Re(zn)+Im(zn)→zo. Daraus würde folgen, dass der
> Realteil und Imaginärteil von z konvergiert.
Das ist eher die Rückrichtung.
Aus der Konvergenz von [mm] $Re(z_n)$ [/mm] und [mm] $Im(z_n)$ [/mm] folgt nach den GWsätzen Konvergenz von [mm] $Re(z_n)+iIm(z_n)=z_n$
[/mm]
>
> // Meine Frage ist eben, ob das alles so richtig ist, oder
> hab ich nicht mehr oder weniger den Rückwärtsbeweis
> falsch rum aufgeschrieben
Jo, das ist die Rückrichtung, die du übrigens auch in einen kleinen netten [mm] $\varepsilon$-Beweis [/mm] packen kannst ...
> (also einfach alles rückwärts
> lesen xD). Ich habe bedenken, dass ich die Cauchy Folgen
> Definition einbeziehen muss.
Versuche noch die Richtung [mm] $\Rightarrow$
[/mm]
Du hast zwar, dass [mm] $z_n$ [/mm] die zwei reelle Folgen [mm] $Re(z_n)$ [/mm] und [mm] $Im(z_n)$ [/mm] liefern, aber du musst begründen, dass die auch gegen [mm] $Re(z_0)$ [/mm] und [mm] $Im(z_0)$ [/mm] konvergieren (wobei [mm] $z_0=\lim\limits_{n\to\infty}z_n$ [/mm] ist)
>
> Ich bin für Hilfe äußerst dankbar
> mit freundlichen Gruß
> nobodon
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Fr 04.11.2011 | | Autor: | nobodon |
"Du hast zwar, dass $ [mm] z_n [/mm] $ die zwei reelle Folgen $ [mm] Re(z_n) [/mm] $ und $ [mm] Im(z_n) [/mm] $ liefern, aber du musst begründen, dass die auch gegen $ [mm] Re(z_0) [/mm] $ und $ [mm] Im(z_0) [/mm] $ konvergieren (wobei $ [mm] z_0=\lim\limits_{n\to\infty}z_n [/mm] $ ist) "
Naja iwie drehe ich mich in ner endlosschleife: Wenn, wie du sagst
$ [mm] z_0=\lim\limits_{n\to\infty}z_n [/mm] $ so auch
$ [mm] z_0=\lim\limits_{n\to\infty}(Re(z_0) [/mm] + [mm] Im(z_0) [/mm] $
daraus sehe ich doch, dass Realteil und Imaginärteil konvergieren, da sich das [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}$ [/mm] doch auf die Summanden Re und Im bezieht?
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Hallo nochmal,
> "Du hast zwar, dass [mm]z_n[/mm] die zwei reelle Folgen [mm]Re(z_n)[/mm] und
> [mm]Im(z_n)[/mm] liefern, aber du musst begründen, dass die auch
> gegen [mm]Re(z_0)[/mm] und [mm]Im(z_0)[/mm] konvergieren (wobei
> [mm]z_0=\lim\limits_{n\to\infty}z_n[/mm] ist) "
>
> Naja iwie drehe ich mich in ner endlosschleife: Wenn, wie
> du sagst
> [mm]z_0=\lim\limits_{n\to\infty}z_n[/mm] so auch
> [mm]z_0=\lim\limits_{n\to\infty}(Re(z_0) + Im(z_0)[/mm]
> daraus
> sehe ich doch, dass Realteil und Imaginärteil
> konvergieren, da sich das [mm]\lim\limits_{n\to\infty}[/mm] doch auf
> die Summanden Re und Im bezieht?
Ne, nimm mal an, [mm] $z_0=0$ [/mm]
Wie willst du von der Konvergenz von [mm] $Re(z_n)+Im(z_n)$ [/mm] denn auf die Konvergenz der beiden einzelnen so ohne weiteres schließen?
Was, wenn [mm] $Re(z_n)=n$ [/mm] und [mm] $Im(z_n)=-n$, [/mm] dann konvergiert zwar [mm] $Re(z_n)+Im(z_n)=0$ [/mm] gegen 0, aber sowohl [mm] $Re(z_n)$ [/mm] als auch [mm] $Im(z_n)$ [/mm] divergieren.
Da ist noch Begrüngungsbedarf ...
LG
schachuzipus
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