Konvergenz monotoner Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Fr 23.11.2007 | | Autor: | peanut |
| Aufgabe | Es sei (an) eine monotone Folge.
Beweisen Sie . jeder Häufungspunkt von (an ) ist auch Grenzwert von ( an). |
Hallo alle zusammen,
ich habe mir hier gerade diese Aufgabe angeguckt und wundere mich gerade ein bisschen.
Ich habe sie so verstanden,dass ich nur von einer monotonen Folge ausgehen soll, und zeigen soll, dass jeder Häungungswert Grenzwert ist.
Kann man denn nur mit dem Kriterium , dass die Folge monoton ist, davon ausgehen, dass sie konvergent ist?
Weil entweder müsste ich doch wenigstens davon ausgehen, dass sie genau einen Häufungspunkt besitzte, oder aber auch bechärnkt ist?
Oder hab ich da was falsch verstanden??
Wäre nett, wenn mir da jemand helfen könnte:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei [mm] (a_n) [/mm] eine monotone Folge.
> Beweisen Sie . jeder Häufungspunkt von [mm] (a_n [/mm] ) ist auch
> Grenzwert von ( [mm] a_n).
[/mm]
> Hallo alle zusammen,
> ich habe mir hier gerade diese Aufgabe angeguckt und
> wundere mich gerade ein bisschen.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Daß Du Dich wunderst, werte ich als gutes Zeichen: ich schließe daraus, daß Du schon ein bißchen Wissen über konvergente Folgen angesammelt hast.
> Ich habe sie so verstanden,dass ich nur von einer monotonen
> Folge ausgehen soll, und zeigen soll, dass jeder
> Häungungswert Grenzwert ist.
Ganz genau.
>
> Kann man denn nur mit dem Kriterium , dass die Folge
> monoton ist, davon ausgehen, dass sie konvergent ist?
Nein, es fallen einem doch allerlei Beispiele von nichtkonvergenten monotonen Folgen ein.
>
> Weil entweder müsste ich doch wenigstens davon ausgehen,
> dass sie genau einen Häufungspunkt besitzte, oder aber auch
> bechärnkt ist?
> Oder hab ich da was falsch verstanden??
Ich glaube, Du hast ein bißchen etwas falsch verstanden.
Nirgendwo in der Aufgabe wird behauptet, daß eine monotone Folge einen Häufungspunkt hat.
Sondern
Du hast eine montone Folge.
Zeigen sollst Du nun:
wenn sie einen Häufungspunkt hat, dann ist dieser Grenzwert.
Für Deinen Beweis ist die Voraussetzung also: monotone Folge mit Häufungspunkt.
Daraus sollst Du was basteln.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Fr 23.11.2007 | | Autor: | peanut |
Okay, das hört sich schon sinnvoller an;)
Dann würde ich so vorgehen:
Sei a Häufungswert von (an) => Es existiert eine Teilfolge (ank) mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(ank) [/mm] = a
Und müste jetzt zeigen, dass auch die gesamte Folge gegen a konvergiert,
indem ich einmal annehme , dass ( an) monton fallend ist und einmal monoton wachsend.
Wäre das soweit okay? Muss ich danach noch zeigen, dass a der einzigste Häufungspunkt ist?
LG, peanut
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> Okay, das hört sich schon sinnvoller an;)
>
> Dann würde ich so vorgehen:
>
> Sei a Häufungswert von (an) => Es existiert eine Teilfolge
> (ank) mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(ank)[/mm] = a
>
> Und müste jetzt zeigen, dass auch die gesamte Folge gegen a
> konvergiert,
Genau.
> indem ich einmal annehme , dass ( an) monton fallend ist
> und einmal monoton wachsend.
Im Grunde reicht hier, wenn Du sagst: sei [mm] (a_n) [/mm] monoton wachsend, Du dann den Beweis durchziehst und zum Schluß schreibst: für [mm] (a_n) [/mm] monoton fallend analog.
Allerdings verbietet Dir niemand, beide Beweise aufzuschreiben.
> Muss ich danach noch zeigen, dass a
> der einzigste Häufungspunkt ist?
Nein. (Das ergibt sich dann ja sowieso automatisch daraus, daß es der Grenzwert ist, ist aber nicht Bestandteil der Aufgabenstellung, man sollte also ohne Notwendigkeit keine Betrachtungen darüber anstellen.)
Gruß v. Angela
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