Konvergenz rekursiver Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei k [mm] \in \IN [/mm] und seien a > 0 und [mm] x_1 [/mm] > 0 reelle Zahlen. Die Folge [mm] (x_n)_n \in\IN [/mm] werde rekursiv definiert durch:
[mm] x_n+1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{k}((k-1)x_n [/mm] + [mm] \bruch{a}{x_n^{k-1}})
[/mm]
Zeige, dass die Folge konvergent ist, und berechne ihren Grenzwert. |
Hallo, folgendes habe ich bereits versucht:
Ich muss ja zeigen das die Folge monoton und beschränkt ist, denn dann ist sie auch konvergent.
Zur Monotonie habe ich zuerst [mm] x_n+1 [/mm] - [mm] x_n [/mm] = [mm] \bruch{a}{x_n^{k-1}} [/mm] - [mm] \bruch{x_n}{k} [/mm] berechnet, in der Hoffnung, man könnte sehen ob das Ergebnis positiv oder negativ ist. Wie man sieht kann man darüber noch keine Aussage treffen, da man von a und [mm] x_n [/mm] leider NUR weiß das sie größer 0 sind.
Sicherlich muss man die Folge wieder mit gewieften Tricks vereinfachen und abschätzen, s.d. man etwas über a oder [mm] x_n [/mm] erfährt(?).. schwer, wenn man nicht weiß wo die Reise hingehen soll.
Ich habe schon ein wenig mit Bernoulli rumgespielt und nach oben abgeschätzt. Wenn nicht anders erwünscht spar ich mir aber die Rechnung, denn sie kommt mir nicht sehr hilfreich vor.
Vielleicht kann mir ein alter Haudegen auf die Sprünge helfen :P Meine erfahrung mit solchen Folgen ist nämlich leider nahe Null. Irgend ein Tipp, was ich versuchen könnte? Einen Ansatz, ein Stichwort?
Ich entschuldige mich das ich keine konkrete Frage stellen kann. Ich glaube nur das die Aufg. sehr wichtig für das Verständnis ist.
Ich danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 So 27.11.2011 | | Autor: | Helbig |
Wenn die Folge konvergiert, so konvergiert sie gegen [mm] $\root [/mm] {k} [mm] \of [/mm] a$.
Sei [mm] $y=\root [/mm] k [mm] \of [/mm] a$. Zeige zunächst
[mm] $\bruch [/mm] 1 [mm] k\left((k-1)*x + \bruch {y^k} {x^{k-1}}\right) [/mm] > y$ für $x>0$.
Dies ist nicht leicht, ich habe dafür eine Fallunterscheidung $y<x$ und $x<y$ gebraucht.
Viel Erfolg,
Wolfgang
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Gut damit hätte man die Beschränktheit schon mal gezeigt. Meine Rechnungen scheitern aber immer daran das ich nicht weiß ob y oder x kleiner oder größer als 1 sind. In weitere fälle zu unterscheiden ist nicht nötig? Da gäbe es ja einige Kombinationen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 So 27.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Vorschlag: nimm mal K =2 oder 3 und a fest. zB 5
probier was passiert wenn du mit irgendeinem x größer oder kleiner GW anfängst, aber rechne mindestens 4 Folgenglieder aus. bilde jeweils [mm] x^k [/mm] (von x1 nach x2 ist meist anders als der Rest, Deine Vermutung gilt dann für alle k und a
und man sieht eigentlich schon die Beweisidee.
du musst zuerst die Beschränktheit zeigen, dann ist die monotonie einfach.
Gruss leduart
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Ok hab ich gemacht. Für k = 2 und a = 5 konvergiert die Folge gegen [mm] \wurzel[k]{a} [/mm] = [mm] \wurzel{5} [/mm] egal ob [mm] x_1 [/mm] > [mm] \wurzel{5} [/mm] oder [mm] x_1 [/mm] < [mm] \wurzel{5}. [/mm]
[mm] x^{k} (=x^{2}) [/mm] nähert sich dementsprechend der 5. Also bis auf das 2-te Glied fällt sie monoton.
Zur Beweisidee: Ich muss ja dann zeigen das (jetzt allgemein) die Folge nach unten durch [mm] \wurzel[k]{a} [/mm] beschränkt ist, sprich größer gleich [mm] \wurzel[k]{a} [/mm] für alle n, was der Poster (Helbig) vor mir schon gesagt hat. Oder wolltest du auf etwas anderes hinaus? Weil das habe ich eben nicht hinbekommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Di 29.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 So 27.11.2011 | | Autor: | Helbig |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Gut damit hätte man die Beschränktheit schon mal gezeigt.
> Meine Rechnungen scheitern aber immer daran das ich nicht
> weiß ob y oder x kleiner oder größer als 1 sind. In
> weitere fälle zu unterscheiden ist nicht nötig? Da gäbe
> es ja einige Kombinationen...
Ja, das wird häßlich. Mit nur zwei Fällen geht es etwa so:
Um $\bruch 1 k\left ((k-1)*x+\bruch {y^k} {x^{k-1}}\right) \ge y$ zu zeigen, hilft die Differenzengleichung für Potenzen:
$y^k-x^k=(y-x)*\sum_{i=0}^{k-1}y^{k-1-i}*x^i$.
Damit kann man die behauptete Ungleichung für $y < x$ umwandeln in die äquivalente Ungleichung:
$\sum_{i=0}^{k-1}\left(\bruch y x\right)^{k-1-i} \le k$, bzw. in
$\sum_{i=0}^{k-1}\left(\bruch y x\right)^{k-1-i} \ge k$, falls $x<y$ ist.
Und diese stimmen in beiden Fällen. (Warum?)
Hilft das?
Gruß Wolfgang
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Ohje.. Ich danke dir für deine Mühe, aber 1. ist das ein Mittel das wir nicht hatten und dementsprechend auch nicht benutzen dürfen und 2. könnte ich es auch gar nicht benutzen, weil ich dir ehrlich gesagt nicht mehr folgen kann. Das kommt mir sehr fremd vor, ich glaube nicht das ich mich da mal eben reindenken kann...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 So 27.11.2011 | | Autor: | Helbig |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Schade. Meine Differenzenformel für Exponenten wird in Vorlesungen oft ohne Beweis als "offensichtlich" benutzt.
Der Beweis geht damit so:
$\bruch 1 k \left((k-1)*x+\bruch {y^k} {x^{k-1}}\right) \ge y$
$\gdw(k-1)*x^k+y^k\ge k*y*x^{k-1}$
$\gdw y^k-x^k \ge k*(y*x^{k-1}-x^k)=k*x^{k-1}*(y-x)$
$\gdw\left(\sum_{i=0}^{k-1}y^{k-1-i}*x^i\right)(y-x)\ge k*x^{k-1}*(y-x)$ (Diff.-Formel)
$\gdw\sum_{i=0}^{k-1}y^{k-1-i}*x^i\right)\le k*x^{k-1}$ (y<x)
$\gdw \sum_{i=0}^{k-1}\left(\bruch y x\right)^{k-1-i} \le k$ (0<x)
Die letzte Ungleichung stimmt, weil wegen $y<x$ jeder der k Summanden kleiner 1 ist.
Ist $x<y$, so ersetze in den letzten beiden Ungleichungen $\le$ durch $\ge$. Die geänderte letzte Ungleichung stimmt dann wieder, diesmal weil jeder der k Summanden größer 1 ist.
Ich weiß, dies ist recht kompliziert, aber ein einfacherer Beweis ist mir schlicht nicht eingefallen. Tut mir leid.
Gruß,
Wolfgang
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Ich habe mir gerade einen Artikel angeschaut, in der die selbe Aufgabe diskutiert wurde und habe auch alles verstanden. Das lag natürlich an der Vorgehensweise, die mir im Prinzip bekannt ist. Aber ich finde es sehr interessant auch mal einen anderen Weg zu sehen! Ich werde mir deinen Lösungsweg definitiv zu Gemüte führen. Vielen Dank für deine Mühe!
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Hallo kullinarisch,
diese Aufgabe wurde hier in den letzten Wochen schon einige Mal besprochen.
Einen guten Thread dazu findest Du zum Beispiel hier.Gutes Gelingen!
LG
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