www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenKonvergenz und Beschränktheit
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz und Beschränktheit
Konvergenz und Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenz und Beschränktheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:53 Mo 07.06.2010
Autor: steffi.24

Aufgabe
z.z [mm] (a_n) [/mm] ist konvergent [mm] \gdw (a_n) [/mm] ist beschränkt und besitzt genau einen Häufungswert

Ich habe keinen Plan, wie ich das beweisen soll. Bitte um Hilfe.glg steffi

        
Bezug
Konvergenz und Beschränktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:10 Mo 07.06.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> z.z [mm](a_n)[/mm] ist konvergent [mm]\gdw (a_n)[/mm] ist beschränkt und
> besitzt genau einen Häufungswert
>  Ich habe keinen Plan, wie ich das beweisen soll. Bitte um
> Hilfe.glg steffi

Du hast zwei Richtungen zu zeigen.
Schauen wir uns " [mm] \Rightarrow [/mm] " an. Da [mm] (a_{n}) [/mm] konvergent (gegen einen Grenzwert a) ist, gilt:

[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N\in\IN: \forall [/mm] n > N: [mm] |a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$. [/mm]

Wir können insbesondere für [mm] \varepsilon [/mm] = 1 einsetzen und erhalten, dass ein [mm] N\in\IN [/mm] existiert, so dass [mm] \forall [/mm] n > N gilt: [mm] |a_{n}-a| < [/mm] 1, d.h. $a-1 < [mm] a_{n} [/mm] < a + 1$.
Wir können außerdem das Maximum [mm] $K:=\max_{1 \le n \le N} |a_{n}|$ [/mm] bestimmen, weil das Maximum von endlich vielen Werten immer existiert.

Warum ist [mm] (a_{n}) [/mm] nun beschränkt?

Zum Häufungspunkt: Es ist natürlich so, dass dann gerade der Grenzwert a der einzige Häufungspunkt der Folge [mm] (a_{n}) [/mm] ist (Dass a eine Häufungspunkt der Folge ist, sollte klar sein). Du kannst ja mal annehmen, es gäbe einen weiteren Häufungspunkt a'. Warum folgt dann a = a' ?

------------

Nun " [mm] \Leftarrow [/mm] ":
Hier bietet sich wahrscheinlich ein Widerspruchsbeweis an. Nimm also an, [mm] (a_{n}) [/mm] wäre beschränkt, [mm] (a_{n}) [/mm] hätte nur einen einzigen Häufungspunkt a und [mm] (a_{n}) [/mm] ist nicht konvergent.

[mm] (a_{n}) [/mm] ist nicht konvergent ist äquivalent zu:

[mm] $\exists \varepsilon [/mm] > 0: [mm] \forall [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] \exists [/mm] n >N: [mm] |a_{n}-a| > \varepsilon$. [/mm]

Das bedeutet: Du kannst nacheinander für N = 1,2,3,... einsetzen und erhältst immer ein n > N so, dass [mm] |a_{n}-a| > \varepsilon [/mm] erfüllt ist.
Auf diese Weise erhältst du eine Teilfolge [mm] (a_{n_{k}}) [/mm] mit der Eigenschaft, dass für alle Folgenglieder von [mm] (a_{n_{k}}) [/mm] gilt: [mm] |a_{n_{k}}-a| [/mm] > [mm] \varepsilon. [/mm]

Nun stelle zweierlei fest (das ist noch zu begründen!):
- Diese Teilfolge kann keinen Häufungspunkt haben
- Diese Teilfolge ist beschränkt.

Warum ist das ein Widerspruch?

Grüße,
Stefan

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]