Konvergenz und Beschränkung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei 0 < r [mm] \le [/mm] 4 und die Folge (an) def iniert durch Angabe von a1 [mm] \in [/mm] (0; 1)
und
[mm] a_{n+1} [/mm] = r [mm] a_n(1 [/mm] - [mm] a_n) [/mm] für n [mm] \in [/mm] IN:
Man zeige, dass [mm] (a_n) [/mm] beschränkt ist und im Fall 0 < r < 1 konvergiert. |
Nun ja Ziel meiner Aufgabe soll es sein, dass ich zeige das meine Folge monoton und beschränkt ist. Dann ist sie ja konvergent
da mein [mm] a_1 [/mm] größer 0 und kleiner 1 ist (0 < [mm] a_1 [/mm] < 1) weiß ich leider gar nicht wie ich da anfangen könnte...
Hättet ihr ein paar Tipps
Danke euch
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei 0 < r [mm]\le[/mm] 4 und die Folge (an) def iniert durch Angabe
> von a1 [mm]\in[/mm] (0; 1)
> und
> [mm]a_{n+1}[/mm] = r [mm]a_n(1[/mm] - [mm]a_n)[/mm] für n [mm]\in[/mm] IN:
>
> Man zeige, dass [mm](a_n)[/mm] beschränkt ist und im Fall 0 < r < 1
> konvergiert.
> Nun ja Ziel meiner Aufgabe soll es sein, dass ich zeige
> das meine Folge monoton und beschränkt ist. Dann ist sie
> ja konvergent
>
> da mein [mm]a_1[/mm] größer 0 und kleiner 1 ist (0 < [mm]a_1[/mm] < 1)
> weiß ich leider gar nicht wie ich da anfangen könnte...
>
> Hättet ihr ein paar Tipps
Zeige mit Induktion:
[mm] 0
Wenn Du das hast, so zeige:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}= r(1-a_n)<1 [/mm] für jedes n.
Damit hast Du auch die Monotonie
FRED
>
> Danke euch
> mfg
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Na ja ok ich hätte einfach mal gesagt:
$ [mm] 0
Im Induktionsschritt
$ [mm] 0
Das ist nicht anderes als:
$ 0<r [mm] a_n (1-a_n) [/mm] <1 $
Die Linke Seite ist erfüllt, da es sicher größer 0 ist
und bei der rechten Seite kann ich sagen, dass der Begriff in der Klammer immer kleiner 1 ist, da [mm] a_n [/mm] nicht 1 annimmt. Somit ist [mm] a_n [/mm] icht größer als 1 und die Multipliaktion mit [mm] a_n [/mm] * (1- [mm] a_n) [/mm] <1.
Es bleibt noch die Multiplikation mit r, da r aber auch laut angabe (r < 1) ist, ist die Folge mit 0 < [mm] a_n [/mm] < 1 beschränkt.
stimt das soweit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Mo 21.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist richtig, sollte aber nicht so sehr mit Worten als mit dem was du weißt begründet werden.
1.>0 weil nach vors, [mm] a_n>0,r>0 [/mm] und wegen [mm] a_n<1 1-a_b>9
[/mm]
2.<1 weil r<1,nach indVors [mm] a_n<1 [/mm] und damit auch [mm] 1-a_n<1
[/mm]
Also das produkt <1
jetzt die monotonie!
Gruss leduart
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Naja
Wie der Herr vorher schon geschrieben hat kann ich die Gleichung auch anschreiben als:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] r*(1-a_n)
[/mm]
So wenn ich jetz [mm] a_n+1 [/mm] mit [mm] a_n [/mm] dividiere erhalte ich entweder einen Wert g < 1 für eine steigende Monotonie
und für einen Wert g >1 eine fallende Monotonie ( g [mm] \in [/mm] IR)
Und da in meiner Gleichung [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] gleichzusetzen ist mit [mm] r*(1-a_n), [/mm] ist dies kleiner 1 da,
[mm] 1-a_n [/mm] <1 und r <1 ist, so iist auch das Produkt kleiner 1 also Monoton fallend?
mfg
Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Naja
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> Wie der Herr vorher schon geschrieben hat
Dieser Herr war ich, FRED FREDDY von FREDDENSTEIN
> kann ich die
> Gleichung auch anschreiben als:
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] = [mm]r*(1-a_n)[/mm]
>
> So wenn ich jetz [mm]a_n+1[/mm] mit [mm]a_n[/mm] dividiere erhalte ich
> entweder einen Wert g < 1 für eine steigende Monotonie
>
> und für einen Wert g >1 eine fallende Monotonie ( g [mm]\in[/mm]
> IR)
>
> Und da in meiner Gleichung [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm]
> gleichzusetzen ist mit [mm]r*(1-a_n),[/mm] ist dies kleiner 1 da,
>
> [mm]1-a_n[/mm] <1 und r <1 ist, so iist auch das Produkt kleiner 1
> also Monoton fallend?
Stimmt
HERR VON FREDDENSTEIN
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> mfg
> Danke
>
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