Konvergenz und Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Di 20.11.2007 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Sind folgende Aussagen für jede Wahl von reellen Folgen [mm] (a_n)_{n \in \mathbb N} [/mm] und [mm] (b_n)_{n \in \mathbb N} [/mm] korrekt?
1)Ist [mm] a_n [/mm] divergent und [mm] b_n [/mm] divergent, so ist [mm] a_n+b_n [/mm] divergent
2) Ist [mm] a_n [/mm] divergent und [mm] b_n [/mm] divergent, so ist [mm] a_nb_n [/mm] divergent
3) Ist [mm] (a_{n+1}-a_n)_{n \in \mathbb N} [/mm] gegen 0 konvergent, so konvergiert [mm] a_n
[/mm]
4) Gilt [mm] |a_{n+1}|>2|a_n| [/mm] für alle n [mm] \in \mathbb [/mm] N, so ist [mm] a_n [/mm] divergent
5) Ist [mm] a_n [/mm] konvergent gegen a mit a [mm] \not [/mm] = 0 und gilt [mm] a_n \not [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \mathbb [/mm] N , so gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n}=1 [/mm] |
Hi!
Ich habe obige Aufgaben versucht zu bearbeiten, bin mir aber nicht immer sicher.
folgendes habe ich mir gedacht:
1) Ist falsch, wähle zB [mm] a_n= (-1)^k [/mm] und [mm] b_n=(-1)^{k+1}
[/mm]
2) ebenso falsch [mm] a_n= (-1)^k [/mm] und [mm] b_n=(-1)^{k}
[/mm]
3) Ich bin mir nicht sicher, aber ich würde sagen es stimmt, nach Cauchy. Zwar sagt Cauchy, dass der Abstand zweier Folgendglieder kleiner einem Epsilon sein muss, aber wenn er Null ist, müsste das doch auch gehen, oder?
4) Bin ich mir gar nicht sicher :( Ich habe versucht mit Dreiecksungleichung rumzufummeln, bin aber zu nichts gescheitem gekommen. Das einzige, was ich weiß, ist, dass die Folge sehr schnell wächst oder fällt. Ob sie nun beschränkt ist, weiß ich nicht, was ich ja wissen müsste. Hier ein Tipp?
5) Ich würde sagen, es ist korrekt. Im unendlichen dürften die Folgenglieder "so gut wie" gleich sein...
Danke euch schon mal im Voraus!
|
|
| |
|
1, 2: ok
3: Schau mal [mm] $a_n=\log(n)$ [/mm] an.
4: Es gibt ein $c>0$ mit [mm] $|a_n| [/mm] > [mm] c\cdot 2^n$.
[/mm]
Da [mm] $c\cdot 2^n$ [/mm] divergiert, divergiert auch [mm] $|a_n|$ [/mm] und somit [mm] $a_n$
[/mm]
Du kannst auch eine Schranke annehmen und zeigen, dass endlich viele Iterationen genügen, um die Schranke zu überschreiten.
Wenn [mm] $0<|a_k|S/|a_k|$. [/mm] Dann ist [mm] $|a_{k+m}|>S$.
[/mm]
5: Was ist, wenn [mm] $a_n$ [/mm] ständig das Vorzeichen wechselt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:18 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Wimme |
hallo leonhard!
Vielen Dank für deine Antwort!
3) Sehe ich ein, aber da muss man auch so erstmal drauf kommen.
5) Wenn [mm] a_n [/mm] immer das Vorzeichen wechselt, kann die Folge denn dann gegen ein a konvergieren? Höchstens gegen null, oder? Jedenfalls sehe ich das noch nicht so ganz ein ;)
4) Verstehe ich deine Argumentation leider gar nicht :( Wieso sollte [mm] a_n [/mm] divergieren, nur weil sie größer als c [mm] \cdot 2^n [/mm] ist? Wie kommst du überhaupt auf [mm] 2^n?
[/mm]
Hoffe auf abermalige Antworten :)
danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Fr 23.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
