Konvergenz und Endlichkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Sa 05.11.2005 | | Autor: | tuschka |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallihallo alle zusammen,
ich habe grad mit meinem Mathestudium angefangen und bin mir einfach noch sehr unsicher was Beweise angeht, deswegen hoffe ich könnt ihr mir bissl unter die Arme greifen.
Wir haben folgenden Aufgabe bekommen:
Gegeben sei eine konvergente Folge [mm] (a_2)_n\in\IN, [/mm] deren Elemente ganze Zahlen sind. Zeigen Sie, dass die Menge ( [mm] a_n: n\in\IN) [/mm] endlich ist. Gilt die Umkehrung auch? Folgt aus der Endlichkeit der Megne die Konvergenz der Folge?
Meine Idee war, dass ich sage, da [mm] a_n [/mm] abzählbar muss auch gelten [mm] a_n [/mm] ist surjektive Abbildung. Also muss jedem Element aus der Wertemenge mindestens ein Element aus der Def.menge [mm] {n\in\IZ} [/mm] zugeordnet sein. Wäre [mm] a_n [/mm] unendlich, würden einige Elemente aus der Wertemenge, die ja nur bis zu der Zahl geht gegen die die Folge konvergiert, sagen wir a, nicht getroffen werden, da [mm] a_n [/mm] > a.
Wie findet ihr die Idee? Wenn sie falsch ist, könntet ihr mir vielleicht einige Tipps für einen Beweisanfang geben?
|
|
| |
|
Hallo tuschka,
Gegeben ist eine KONVERGENTE Folge, deren Folgenglieder GANZE Zahlen sind.
Es existiert also ein GRENZWERT a.
Nach Definition des GW muss auch für [mm] $\varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] gelten, dass [mm] $|a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon$, [/mm] wenn $n [mm] \ge n_0$. [/mm] (Für jedes [mm] $\varepsilon$ [/mm] existiert ja ein passendes [mm] $n_0$)
[/mm]
Was kann man jetzt über die [mm] $a_n$ [/mm] mit $n [mm] \ge n_0$ [/mm] aussagen?
Liebe Grüße,
Holy Diver
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Sa 05.11.2005 | | Autor: | tuschka |
mhmhh...
also kann ich dann sagen , dass |a| + [mm] \epsilon [/mm] > [mm] |a_n|. [/mm] Wenn ich nun epsilon immer weiter verringer, auf 1/4, 1/8, 1/100000... und dafür die aussagen genauso formuliere ,mit [mm] |a_n [/mm] - a| < usw. kann ich doch sagen, dass der Abstand zwischen a und [mm] a_n [/mm] bis auf z.b millionstel gering ist, dass [mm] a_n [/mm] = a. Damit gibt es einen Wert a bei dem [mm] a_n [/mm] endet.
Kann ich das so sagen?
Danke auf jeden fall für die Hilfe.. :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein, das macht so leider keinen Sinn. Mache es so, wie es vorgeschlagen wurde.
Nach Definition gibt es für [mm] $\varepsilon:= \frac{1}{2}>0$ [/mm] ein [mm] $n_0 \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt:
[mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \frac{1}{2}$.
[/mm]
Insbesondere gilt (Dreicksungleichung)
[mm] $|a_n [/mm] - [mm] a_{n_0}| \le |a_n [/mm] - a| + [mm] |a_{n_0} [/mm] - a| < 1$
für alle $n [mm] \ge n_0$. [/mm] Ab dem [mm] $n_0-$-ten [/mm] Folgenglied ist also der Abstand des Folgengliedes [mm] $a_n$ [/mm] von [mm] $a_{n_0}$ [/mm] immer kleiner als ein. Da eber [mm] $a_{n_0}$ [/mm] und [mm] $a_n$ [/mm] ganze Zahlen sind, bedeutet das zwangsläufig:
[mm] $a_n [/mm] = [mm] a_{n_0}$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Sa 05.11.2005 | | Autor: | tuschka |
Ouhhh jaaa *froi*
jetzt macht es für mich auch viiiel mehr sinn und das beste ich hab die taktik und methode verstanden :)
Jetzt wird mir einiges klarer, ich danke dir sehr!
Ein schönes wochenende wünsch noch..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Lolita |
Hallo zusammen,
bin wahrscheinlich zu blöd, aber mir ist es trotzdem nicht klar, wie man von der Aussage [mm] a_n = a_{n_0} [/mm] für alle [mm] n\ge n_0 [/mm] darauf kommt, dass die Menge [mm] \{a_n : n\in\IN\} [/mm] endlich ist. Könntet ihr es bitte genauer erklären?
Entschuldigung für ein so langsames Vertändnisprozess:)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 So 06.11.2005 | | Autor: | tuschka |
Also ich hab mir das so erklärt, dass wenn die beiden Werte von a_n0 und [mm] a_n [/mm] nicht mehr verschieden sind, verändert sich der Wertebereich nicht mehr und die Folge [mm] a_n [/mm] endet.
Bin allerdings nicht ganz zufrieden mit der Begründung... Vielleicht hilft dir der Gedankengang ja.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 So 06.11.2005 | | Autor: | Lolita |
Hallo tuschka!
Danke für die Antwort, endlich habe ich koppiert, wie es geht. Dabei hab ich aber ein wenig anders anrumentiert, und zwar:
wenn wir wissen ,dass für alle [mm] n\ge n_0 : a_n=a_{n_0} [/mm], folgt daraus [mm] \left\{a_n: n\in\IN \right\} = \left\{a_{n_1}, a_{n_2}, ... , a_{n_0}, a_{n_0}, ... , a_{n_0}\right\} = \left\{a_{n_1}, a_{n_2}, ... , a_{n_0}\right\} [/mm], wobei [mm] n_0\in\IN [/mm] eine bestimmte natürliche Zahl ist.
Das heißt, es gibt eine Bijektion von [mm] M=\left\{a_n: n\in\IN \right\} [/mm] auf die Menge [mm] \left\{1, ... , n_0 \right\} [/mm].
Und damit ist die Menge endlich.
Grüß!
|
|
|
|
