Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Sa 12.12.2015 | | Autor: | Lars.P |
| Aufgabe | | Für c [mm] \ge [/mm] 0 . Betrachte Sie die Folge durch [mm] a_{n+1}=\wurzel{c+a_{n}} [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] a_{0}=0. [/mm] Zeigen Sie, dass die Folge konvergent ist und bestimmen sie den Grenzwert. |
Ich würde zunächst den Grenzwert bestimmen und darüber die Konvergenz zeigen.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1}= \wurzel{c+a_{n}}
[/mm]
Ich lasse zunächst den lim in schreibweise weg. und schreibe [mm] a_{n}=a
[/mm]
[mm] \wurzel{c+a_{n}}=\wurzel{c+a}=\wurzel{[(c/a^2)+1/a]*a^2}
[/mm]
[mm] =\wurzel{[(c/a^2)+1/a]} [/mm] * [mm] \wurzel{a^2}
[/mm]
[mm] =\wurzel{[(c/a^2)+1/a]} [/mm] * a
Jetzt wieder lim
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{[(c/a_{n}^2)+1/a_{n}]} [/mm] * [mm] a_{n} [/mm] = 0
Ich komme auf 0, da [mm] \wurzel{[(c/a_{n}^2)+1/a_{n}]}= \wurzel{0+0}=0 [/mm] ist.
Das heißt, ich habe den Grenzwert 0. Da ich nur Positive Zahlen habe hätte ich ja eine Konvergenz
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Hiho,
ei ei ei, das ist ja was geworden....
> Ich würde zunächst den Grenzwert bestimmen und darüber die Konvergenz zeigen.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1}= \wurzel{c+a_{n}}[/mm]
Links steht jetzt ein Ausdruck, der nicht mehr von n abhängt, rechts aber schon.
Du meinst sicherlich: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1}= \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{c+a_{n}}[/mm]
Das gilt, sofern der Grenzwert existiert.
> Ich lasse zunächst den lim in schreibweise weg. und schreibe
> [mm]a_{n}=a[/mm]
Das ist eigentlich schlecht, weil dadurch die Abhängigkeit von n verloren geht, aber gut.
> [mm]\wurzel{c+a_{n}}=\wurzel{c+a}=\wurzel{[(c/a^2)+1/a]*a^2}[/mm]
Wieso sollte das gehen? Wer sagt dir, dass du das machen darfst? Es könnte ja sein, dass $a = 0$ gilt, dann geht das schonmal in die Hose, denn was soll denn [mm] $\frac{c}{0}$ [/mm] sein? Insbesondere ist ja bereits dein Startwert [mm] $a_0 [/mm] = 0$, da geht das also schonmal schief.
Aber nehmen wir mal an, das ginge.
> [mm]=\wurzel{[(c/a^2)+1/a]}[/mm] * [mm]\wurzel{a^2}[/mm]
> [mm]=\wurzel{[(c/a^2)+1/a]}[/mm] * a
Na für [mm] $a_n \not=0$ [/mm] steht da also wieder: [mm]\wurzel{[(c/a_{n}^2)+1/a_{n}]} * a_{n}[/mm]
> Jetzt wieder lim
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{[(c/a_{n}^2)+1/a_{n}]}[/mm]
> * [mm]a_{n}[/mm] = 0
Warum sollte da jetzt plötzlich 0 rauskommen? Das macht keinen Sinn und ist auch falsch, allerdings solltest du mal darlegen, was du dir dabei gedacht hast.
Dein Ansatz ist absolut nicht zielführend, also machen wir das mal richtig.
1.) Für den Fall, dass die Folge konvergiert, kannst du den Grenzwert tatsächlich leicht ausrechnen. Denn dann konvergieren die Folgen [mm] $(a_{n+1})_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gegen den selben Grenzwert. Nenne den Grenzwert a und bilde dann auf beiden Seiten der Rekursionsgleichung $ [mm] a_{n+1}=\wurzel{c+a_{n}} [/mm] $ den Grenzwert. Du erhälst eine Gleichung für a, die zu lösen ist.
2.) Bei 1.) setzen wir ja voraus, dass die Folge konvergiert, das ist nun noch zu zeigen. Ihr hattet bestimmt: Ist eine Folge monoton und beschränkt, dann konvergiert sie.
Zeige also: Die durch $ [mm] a_{n+1}=\wurzel{c+a_{n}} [/mm] $ definierte Folge ist monoton und beschränkt.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Sa 12.12.2015 | | Autor: | Lars.P |
Ich habe beim lesen deiner Antwort aucht gemerkt,dass mein Ansatz garnicht gut ist. Ich hab wahrscheinlich [mm] a_{n} [/mm] in gedanken vertauscht.
Dein 2) ist ist mit schlüssig und kann das auch machen. Jedoch habe ich eine Frage zur 1). Ich habe den Ausdruck ,,Rekursionsgleichung'' noch nie gehört und weiß deswegen nicht was du damit meinst. Könntes du mir eine Erläuterung dazugeben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Sa 12.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe beim lesen deiner Antwort aucht gemerkt,dass mein
> Ansatz garnicht gut ist. Ich hab wahrscheinlich [mm]a_{n}[/mm] in
> gedanken vertauscht.
>
> Dein 2) ist ist mit schlüssig und kann das auch machen.
> Jedoch habe ich eine Frage zur 1). Ich habe den Ausdruck
> ,,Rekursionsgleichung'' noch nie gehört und weiß deswegen
> nicht was du damit meinst. Könntes du mir eine
> Erläuterung dazugeben?
Das ist die Gleichung
[mm] a_{n+1}=\wurzel {c+a_n}
[/mm]
Fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Sa 12.12.2015 | | Autor: | Lars.P |
Okay. Ich schreib mal auf wie ich es denke.
wenn ich auf beiden Seiten von $ [mm] a_{n+1}=\wurzel {c+a_n} [/mm] $ den Grenzwert bestimmen soll wäre das ja. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1}=a
[/mm]
und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel {c+a_n} [/mm] = a
Dann muss ich jetzt sagen, dass ich damit nicht weiter bin als vorher
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Hallo,
> Okay. Ich schreib mal auf wie ich es denke.
Besser, du würdest es schreiben, wie man es dir empfohlen hat ...
>
> wenn ich auf beiden Seiten von [mm]a_{n+1}=\wurzel {c+a_n}[/mm] den
> Grenzwert bestimmen soll wäre das ja.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1}=a[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel {c+a_n}[/mm] = a ![[schockiert]](/images/smileys/schockiert.gif "[schockiert]")
Nein, wieso sollte sowas gelten??
Es ist [mm]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a[/mm]
Also [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{c+a_n}=\sqrt{c+a}[/mm]
(vorausgesetzt, dass alles existiert)
Damit löse [mm]a=\sqrt{c+a}[/mm] nach a auf ...
> Dann muss ich jetzt sagen, dass ich damit nicht weiter bin
> als vorher
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Sa 12.12.2015 | | Autor: | Lars.P |
Achso war das gemeint.
[mm] a=\sqrt{c+a} [/mm] | quadrieren
[mm] a^2 [/mm] = c+a | umstellen
[mm] a^2 [/mm] - a -c =0
Ich würde die pq Formel anwenden.
also [mm] a_{1,2}=-\bruch{-1}{2} \pm \wurzel{(\bruch{1}{2})^2-(-c)}
[/mm]
[mm] a_{1,2}= \bruch{1}{2} \pm \wurzel{(\bruch{1}{4})^2+c)}
[/mm]
Hätte ich nicht jetzt 2 Grenzwerte? Kann das überhaupt sein?
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Hallo nochmal,
> Achso war das gemeint.
Aye!
> [mm]a=\sqrt{c+a}[/mm] | quadrieren
> [mm]a^2[/mm] = c+a | umstellen
> [mm]a^2[/mm] - a -c =0
> Ich würde die pq Formel anwenden.
>
> also [mm]a_{1,2}=-\bruch{-1}{2} \pm \wurzel{(\bruch{1}{2})^2-(-c)}[/mm]
>
> [mm]a_{1,2}= \bruch{1}{2} \pm \wurzel{(\bruch{1}{4})^2+c)}[/mm]
>
> Hätte ich nicht jetzt 2 Grenzwerte?Kann das überhaupt
> sein?
Wenn es einen GW gibt, so ist er eindeutig. Welche der beiden Lösungen kommt nur infrage?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Sa 12.12.2015 | | Autor: | Lars.P |
Ich würde jetzt auf [mm] a_{1,2}= \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{(\bruch{1}{4})^2+c)} [/mm] tippen. Jedoch würde mir nur eine Begründung einfallen, die [mm] \wurzel{(\bruch{1}{4})^2+c)}<0,5 [/mm] ausschließen würden.
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Hallo nochmal,
> Ich würde jetzt auf [mm]a_{1,2}= \bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\wurzel{(\bruch{1}{4})^2+c)}[/mm]
Hier und auch schon im letzten Post hast du aus dem [mm] $\left(\frac{1}{2}\right)^2$ [/mm] unter der Wurzel ein [mm] $\left(\frac{1}{4}\right)^2$ [/mm] gemacht ...
> tippen. Jedoch würde mir nur
> eine Begründung einfallen, die
> [mm]\wurzel{(\bruch{1}{4})^2+c)}<0,5[/mm] ausschließen würden.
Ich würde eher sagen, dass [mm] $\frac{1}{2}-\sqrt{...}<0$ [/mm] ist, da $c>0$ ist.
Da aber [mm] $a_0=0$ [/mm] und [mm] $a_n$ [/mm] monoton steigend ist, sollte der GW positiv sein, wenn er denn existiert ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Sa 12.12.2015 | | Autor: | Lars.P |
Ohh.. hab das wohl einmal falsch geschrieben und kopiere dann immer wieder.
Achso dass heißt die begründung für den Grenzwert kommt erst mit dem Schritt: Die durch $ [mm] a_{n+1}=\wurzel{c+a_{n}} [/mm] $ definierte Folge ist monoton und beschränkt gezeigt wird?
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Hallo nochmal,
> Ohh.. hab das wohl einmal falsch geschrieben und kopiere
> dann immer wieder.
> Achso dass heißt die begründung für den Grenzwert kommt
> erst mit dem Schritt: Die durch [mm]a_{n+1}=\wurzel{c+a_{n}}[/mm]
> definierte Folge ist monoton und beschränkt gezeigt wird?
Ja, das sichert dir ja auch erst die Existenz des GW.
Natürlich kann man - wie hier geschehen - vorher mal schauen, was sich denn ergeben wird bzw. würde ...
Man möchte ja wissen, wohin es geht.
Außerdem bekommt man einen Hinweis auf die Schranke für die Monotonieuntersuchung 
Nun kommt die Hauptarbeit.
Hau rein!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Sa 12.12.2015 | | Autor: | Lars.P |
Also beschränktheit folgt ja schon daraus, dass ich ein Grenzwert habe. Also müsste nur noch die Monotonie gezeigt werden.
Da habe ich auch noch eine Frage zu.
normalerweise schaut man ja mit [mm] a_{n} [/mm] < [mm] a_{n+1} [/mm] ob es steigend ist.
Man setzt ja für jedes n dann n+1 ein. Überprüfe ich jetzt ob [mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] a_{n+2} [/mm] ist? Anders könnte ich es ja nicht machen. Aber wie würde nan dann zeigen dass [mm] \wurzel{c+a_{n}}< \wurzel{c+a_{n+1}} [/mm] ist. Ich kenne ja [mm] a_{n} [/mm] nicht. Es könnte ja jede beliebige Folge sein. Also auch [mm] \bruch{1}{n} [/mm] oder einfach [mm] n^2. [/mm]
Wäre ein versuch von mir [mm] \wurzel{c+a_{n}}< \wurzel{c+a_{n+1}} [/mm] | ^2
c + [mm] a_{n} [/mm] < [mm] c+a_{n+1}. [/mm] Das würde ja bedeuten [mm] a_{n}< a_{n+1} [/mm] damit wäre ja die allgemeine bedeutung von monoton steigend gezeigt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Sa 12.12.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
du schreibst "Also beschränktheit folgt ja schon daraus, dass ich ein Grenzwert habe."
das stimmt nicht! einen GW hast du nur, falls die Folge nach oben beschränkt ist und ab einen [mm] n=N_0 [/mm] monoton steigend, oder nach unten beschränkt und monoton fallend ist.
dann komm t ein Teil dessen was du gemacht hast, aber mit sollst. Induktion wie ist das mit dem Anfang? [mm] a_0=0 a_1=\sqrt(c)>0
[/mm]
jetzt angenommen [mm] a_n>a_{n+1} [/mm] dann folgt [mm] a_{n+1}>a_{n+1}
[/mm]
aber es fehlt noch eine obere Schranke.
Gruß ledum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Sa 12.12.2015 | | Autor: | Lars.P |
Ich habe ja schon gezeigt das die Folge gegen etwas läuft. Also habe ich, falls die Folge monoton steigen/fallend ist grenzen. Ich habe ja raus einmal einen Negativen Grenzwert und einmal einen Positiven. Dadurch hätte ich ja die beschränktheit als folge der monotonie.
Naja ich finde die Aussage [mm] ,,a_1=\sqrt(c)>0'' [/mm] sehr gefragt, denn wo ist das [mm] a_{1} [/mm] unter der Wurzel.
Außerdem frage ich mich wie du auf $ [mm] a_{n+1}>a_{n+1} [/mm] $ kommst.
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Hiho,
> Ich habe ja schon gezeigt das die Folge gegen etwas läuft.
nein, das wäre ein Zirkelschluss.
Du hast gezeigt, was der Grenzwert wäre, wenn die Folge konvergiert.
Und das tut sie sicher, wenn sie monoton und beschränkt ist.
Du argumentierst gerade wie folgt: Wenn sie monoton und beschränkt wäre, dann konvergiert sie, also ist sie auch beschränkt.
Das macht keinen Sinn, also mache doch mal das, was man dir sagt.
> Naja ich finde die Aussage [mm],,a_1=\sqrt(c)>0''[/mm] sehr
> gefragt, denn wo ist das [mm]a_{1}[/mm] unter der Wurzel.
Die Aussage / Frage macht keinen Sinn.
Aber vielleicht solltest du dir mal klar machen, was [mm] a_1 [/mm] ist, wenn du dir deine Rekursionsgleichung anschaust und die Anfangsbedingung berücksichtigst...
> Außerdem frage ich mich wie du auf [mm]a_{n+1}>a_{n+1}[/mm] kommst.
Tippfehler: leduart meinte [mm] $a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n+2}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Sa 12.12.2015 | | Autor: | Lars.P |
Also ich habe ja gesagt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1}=a [/mm]
wäre es dann nicht [mm] \limes_{n\rightarrow 1} a_{n+1}=1
[/mm]
Das würde dann zurfolge haben, [mm] a_{1}=\sqrt(c+1) [/mm] also wäre das >0 und > [mm] a_{0}. [/mm] Also hätte dies zur Folge dass [mm] a_{2}=\sqrt(c+2) [/mm] > [mm] a_{1}. [/mm] Aber gilt nicht ,,Jede konvergente Folge ist beschränkt''. Ich habe ja einen Grenzwert und hätte gezeigt dass sie Monotonsteigend ist.
Ich verstehe nämlich auch nicht wieso du meinst ,,Du hast gezeigt, was der Grenzwert wäre, wenn die Folge konvergiert.'' Habe ich nicht gezeigt dass es einen Grenzwert gibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 So 13.12.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
nochmal ganz langsam:
Du hast KEINEN GW.
verstehst du das Wort "Wenn" nicht?
Wenn die Folge beschränkt ist und monoton steigt nur dann hast du einen GW den du dann ausrechnen kannst.
nimm die Folge [mm] a__{n+1}=10a_n-1 a_0=1 [/mm]
wenn sie einen GW a hätte wäre der a=10a-1; a=1/9
dass die Folge monoton wächst ist leicht zu zeigen. Aber diese Folge hat keinen GW!
All das wurde dir wiederholt gesagt, aber du scheinst es nicht zu verstehen!
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 So 13.12.2015 | | Autor: | Lars.P |
Ich glaube ehr mein Problem wird grade nicht verdeutlicht.
Jede konvergente Folge ist beschränkt. Dieser Satz gilt laut der Vorlesung immer. Das heißt ich müsste nur zeigen, dass die Folge monoton wachsend/fallend ist und hätte gezeigt dass die Folge konvergent ist. Oder irre ich mich bei dem Satz?
Und dann schreib ich nochmal auf wie ich zeigen würde, dass es monoton Steigend ist. Ich würde das von dir am Anfang mit reinnehmen also.
[mm] a_{n}=0 a_{n}=\sqrt(c+a_{1}) [/mm] > 0
außerdem dann noch den Teil von mir
[mm] \wurzel{c+a_{n}}< \wurzel{c+a_{n+1}} [/mm] | ^2
[mm] c+a_{n} [/mm] < c + [mm] a_{n+1} [/mm] damit hätte ich ja auch
[mm] a_{n} [/mm] < [mm] a_{n+1} [/mm] . Da seh ich jedoch ein Problem wenn man davon aussgeht das es fallend wäre würde [mm] a_{n} [/mm] > [mm] a_{n+1} [/mm] rauskommen. daher bin ich in dem Punkt auch etwas verwirrt.
Dann versuch ich mal zu zeigen, dass es Beschränkt wäre. Nach unten wäre es ja beschränkt wenn es steigend wäre durch [mm] a_{0}=0 [/mm] aber wie ist es nach oben beschränkt, wenn ich meinen Grenzwert erst habe wenn sie konvergent ist und sie erst konvergent ist wenn ich eine Schranke habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:08 So 13.12.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Lars.P!
> Ich glaube ehr mein Problem wird grade nicht verdeutlicht.
> Jede konvergente Folge ist beschränkt. Dieser Satz gilt
> laut der Vorlesung immer.
Richtig.
> Das heißt ich müsste nur
> zeigen, dass die Folge monoton wachsend/fallend ist und
> hätte gezeigt dass die Folge konvergent ist.
Falsch.
> Oder irre ich mich bei dem Satz?
Ja.
Gegenbeispiel:
Die Folge
[mm] $(b_n)_{n\in\IN}:=(n)_{n\in\IN}$
[/mm]
ist monoton wachsend, aber nicht konvergent.
> Und dann schreib ich nochmal auf wie ich zeigen würde,
> dass es monoton Steigend ist. Ich würde das von dir am
> Anfang mit reinnehmen also.
> [mm]a_{n}=0 a_{n}=\sqrt(c+a_{1})[/mm] > 0
Nach Voraussetzung ist auch [mm] $c=0\$ [/mm] zulässig!
> außerdem dann noch den Teil von mir
> [mm]\wurzel{c+a_{n}}< \wurzel{c+a_{n+1}}[/mm] | ^2
> [mm]c+a_{n}[/mm] < c + [mm]a_{n+1}[/mm] damit hätte ich ja auch
> [mm]a_{n}[/mm] < [mm]a_{n+1}[/mm] . Da seh ich jedoch ein Problem wenn man
> davon aussgeht das es fallend wäre würde [mm]a_{n}[/mm] > [mm]a_{n+1}[/mm]
> rauskommen. daher bin ich in dem Punkt auch etwas verwirrt.
Tipp: Quadrieren ist im Allgemeinen keine Äquivalenzumformung.
> Dann versuch ich mal zu zeigen, dass es Beschränkt wäre.
> Nach unten wäre es ja beschränkt wenn es steigend wäre
> durch [mm]a_{0}=0[/mm] aber wie ist es nach oben beschränkt, wenn
> ich meinen Grenzwert erst habe wenn sie konvergent ist und
> sie erst konvergent ist wenn ich eine Schranke habe?
Zum letzten Mal: Das Ausrechnen des Grenzwertes am Anfang ist zunächst nur ein Trick und kein Beweis für die Konvergenz! Man zeigt dann (falls das überhaupt geht), dass die Folge entweder monoton steigend und nach oben beschränkt ist, oder monoton fallend und nach unten beschränkt ist, denn damit folgt dann die Konvergenz und erst dann ist der Trick auch ein Beweis für den Grenzwert. Der Trick hilft aber oft bei der Bestimmung der oberen bzw. unteren Schranke.
Meine Empfehlung: Lies dir die Beiträge noch einmal ganz in Ruhe durch!
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:27 So 13.12.2015 | | Autor: | Lars.P |
Zu deinem beispiel mit der Konvergenz. Dein Beispiel hat auch den Grenzwert [mm] \infty [/mm] und nicht eine konkreten Grenzwert.
Und ich habe schon verstanden, dass ich das tue muss. Jedoch verwirren mich mehre aussagen wie z.B von leduart. er meinte angenommen ,, [mm] a_{n}>a_{n+1} [/mm] dann folgt [mm] a_{n+1}>a_{n+2}''
[/mm]
angenommen es wäre anders rum also [mm] a_{n}
Und von dem Tipp(DieAcht) dass Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, könnte man in dem Fall ein koeffizientenvergleich machen und bekommt die gleiche Lösung wie mit Quadrieren herraus.
Das einzige wie ich mir erklären könnte, dass fallen ausgeschlossen werden kann wäre [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1}=a
[/mm]
und den Wissen [mm] a_{0}=0. [/mm] Damit wüsste ich ja eigentlich dass a>0 sein muss und steigen. Das bedeutet für mich, dass ich den Fall [mm] a_{n}>a_{n+1} [/mm] ausschließen kann.
Zu den Grenzen: Untere Grenze ist [mm] \wurzel{c+a_{0}}\Rightarrow \wurzel{c} [/mm] da [mm] a_{n}=0
[/mm]
Obere Grenze ist für mich nicht lösbar. ich Komme nichtmal auf einen Ansatz. Mein Problem ist der Grenzwert soll mir nur helfen um zu schauen. Jedoch habe ich eine Steigende Funktion. Bei der Oberen Grenze soll ja gelten [mm] (a_n) \le S_{o} S_{o}:= [/mm] Obere Grenze
Müsste ich die ungleichung auflösen und hoffen auf eine Wahre aussage? Wenn ja müsste ich die ungleichung mithilfe von [mm] a_{n+1}=\wurzel{c+a_{n}} [/mm] umformen. Also [mm] \wurzel{c+a_{n}}\le S_{o}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 So 13.12.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu monoton steigend.
1. c=0 getrennt behandeln.
2. Beweis durch vollständige Induktion
Ind. vors [mm] a_1>a_0
[/mm]
Ind. Beh, wenn [mm] a_{n+1}>a_n [/mm] dann auch [mm] a_{n+2}>a_{n+1}
[/mm]
natürlich geht das nicht ohne den Induktionsanfang! und du solltest auch aufschreiben, dass und wie du die Induktion machst.
auch die obere Schranke kannst du mit Induktion zeigen und der vermutete GW soll helfen eine Schranke zu finden, die darf ruhig größer sein als der GW.
Gruß leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 So 13.12.2015 | | Autor: | Lars.P |
Ich würde es dann so versuchen.
Für Steigend
I.A [mm] a_{n} \le a_{n+1}
[/mm]
wähle n=0
[mm] \Rightarrow a_{0} \le a_{1} \gdw [/mm] 0 [mm] \le \wurzel{c+a_{1}} [/mm] Wahre aussage
I.V. wenn [mm] a_{n} \le a_{n+1} [/mm] gilt dann auch [mm] a_{n+1} \le a_{n+2}
[/mm]
I.S [mm] a_{n+1} \le a_{n+2} \gdw \wurzel{c+a_{n}} \le \wurzel{c+a_{1}}
[/mm]
wahre aussage durch I.V und durch koeffizientenvergleich.
Damit wäre gezeigt dass die Folge monoton Steigend ist.
Dann mal der Versuch für die Obere Schranke.
I.A. [mm] a_{n} \le [/mm] 1+ [mm] \wurzel{1+c}
[/mm]
wähle n=0
[mm] a_{0} \le [/mm] 1+ [mm] \wurzel{1+c} \gdw [/mm] 0 [mm] \le [/mm] 1+ [mm] \wurzel{1+c} [/mm] wahre aussage.
I.V gelte [mm] a_{n} \le [/mm] 1+ [mm] \wurzel{1+c} [/mm] dann auch [mm] a_{n+1} \le [/mm] 1+ [mm] \wurzel{1+c}
[/mm]
I.S [mm] a_{n+1} \le [/mm] 1+ [mm] \wurzel{1+c} \gdw \wurzel{c+a_{n}} \le [/mm] 1+ [mm] \wurzel{1+c}
[/mm]
Hier würde ich jetzt nicht weiter kommen. Ich weiß zwar dass [mm] a_{n} \le [/mm] 1+ [mm] \wurzel{1+c} [/mm] aber nicht ob [mm] \wurzel{c+a_{n}} \le [/mm] ist.
Eine überlegung war von mir ich quadriere beide Seiten. und hätte [mm] c+a_{n} \le [/mm] 1+1+c
dann kann man das c wegstreichen und hätte nur noch [mm] a_{n} \le [/mm] 2. man weiß dass [mm] a_{n} \le [/mm] 1+ [mm] \wurzel{1+c} [/mm] wäre könnte man dann nicht sagen : 1+ [mm] \wurzel{1+c} \le [/mm] 2 und dann beide Seiten -1 und hätte [mm] \wurzel{1+c} \le [/mm] 1. Dies wäre ja eine Wahre aussage und somit hätte ich eine Schranke.
Oder habe ich mich beim quadrieren vertan und es müsste wenn: [mm] c+a_{n} \le 1+2\wurzel{1+c}+1+c \gdw a_{n} \le 2+2\wurzel{1+c} \gdw a_{n} \le 2(1+\wurzel{1+c}) [/mm] das währe ja laut IV eine wahre aussage.
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Hallo Lars!
> Für Steigend
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> I.A [mm]a_{n} \le a_{n+1}[/mm]
> wähle n=0
> [mm]\Rightarrow a_{0} \le a_{1} \gdw[/mm] 0 [mm]\le \wurzel{c+a_{1}}[/mm] Wahre aussage
Naja, das sieht man m.E. jetzt nicht sofort.
Es gilt:
[mm] $a_1 [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{c+a_0} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{c+0} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{c} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0 \ = \ [mm] a_0$
[/mm]
So sieht man auch wirklich die wahre Aussage mit [mm] $a_1 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] a_0$ [/mm] .
> I.V. wenn [mm] a_{n} \le a_{n+1} [/mm] gilt dann auch [mm] a_{n+1} \le a_{n+2}
[/mm]
> I.S [mm] a_{n+1} \le a_{n+2} \gdw \wurzel{c+a_{n}} \le \wurzel{c+a_{1}}
[/mm]
> wahre aussage durch I.V und durch koeffizientenvergleich.
> Damit wäre gezeigt dass die Folge monoton Steigend ist.
Das ist aber auch mehr als knapp und ziemlich schwammig formuliert.
Auch erkennt man hier nicht, wann und wo und wie Du die Induktionsvoraussetzung verwendest.
[mm] $a_{n+2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{c+\red{a_{n+1}}} [/mm] \ \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ \ [mm] \wurzel{c+\red{a_n}} [/mm] \ = \ [mm] a_{n+1}$
[/mm]
Hieraus erkennt man nun auch eindeutig die geforderte / zu zeigende Ungleichung [mm] $a_{n+2} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] a_{n+1}$ [/mm] .
Gehe nun mal ähnlich / analog vor für den Nachweis der oberen Schranke.
Gruß vom
Roadrunner
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