Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenzen und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert:
a) [mm] (n²+n+2)/(4n^3+1)
[/mm]
b) [mm] (n^n)/((2n)!) [/mm] |
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = 0 (in der Vorlesung bewiesen)
Dann ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ((1/n)+(1/n²)+(2/n^3))/(4+(1/n^3)= [/mm] 0/4=0
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n^n= \infty [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (2n)! = [mm] \infty
[/mm]
Ist (2n)! kleiner als [mm] n^n? [/mm] Konvergiert die Folge dann gegen 0 oder unendlich?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:19 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Mathe-Alfi!
Aufgabe a.) hast Du richtig gelöst. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bei Aufgabe b.) solltest du zunächst den Term auflösen:
$$\bruch{n^n}{(2n)!} \ = \ \bruch{\overbrace{n*n*n*...*n}^{= \ n \ \text{Faktoren}}}{\underbrace{1*2*3*...*(2n)}_{= \ 2n \ \text{Faktoren}}} \ = \ \bruch{\overbrace{n*n*n*...*n}^{= \ n \ \text{Faktoren}}}{1*2*3*...*n*\underbrace{(n+1)*(n+2)*(n+3)*...*(2n)}_{= \ n \ \text{Faktoren}}} \ = \ \bruch{1}{n!}*\underbrace{\bruch{n}{n+1}*\bruch{n}{n+2}*...*\bruch{n}{2n}}_{= \ n \ \text{Faktoren}$$
Die letzten Brüche sind allesamt beschränkt. Und gegen welchen Wert strebt $\bruch{1}{n!}$ ?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Mathe-Alfi |
Achja, stimmt ja...:)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1/n!=0
Also konvergiert dann die Folge gegen 0.
Vielen Dank!
|
|
|
|
